Зовнішня похідна

Нехай ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ — множина диференціальних k-форм на гладкому многовиді M. Лінійне відображення ${\displaystyle \mathrm {d}$ :\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)} називається зовнішньою похідною якщо:

1. Для ${\displaystyle p=0}$ воно збігається зі звичайним диференціалом функції;
2. ${\displaystyle \ \mathrm {d} (\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(\mathrm {d} \omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (\mathrm {d} \omega ^{p})}$
3. Для будь-якої форми виконується рівність ${\displaystyle \mathrm {d} (\mathrm {d} \omega )=0}$.

Для довільного гладкого многовиду відображення з даними властивостями існує і є єдиним.

Для довільної точки ${\displaystyle p\in M}$ існує окіл цієї точки і координатні функції ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ такі що довільну диференціальну k-форму можна записати як

${\displaystyle \omega ^{k}=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}f_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}},}$ для деяких гладких функцій ${\displaystyle f_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}$визначених в цьому околі. Тоді зовнішня похідна в цій точці рівна

${\displaystyle \mathrm {d} \omega ^{k}|_{p}=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}\sum _{i=1}^{n}\left.{\frac {\partial f_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}{\partial x_{i}}}\right|_{p}\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}.}$

Якщо ${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{k}}$ — гладкі векторні поля на многовиді, тоді зовнішня похідна визначається за формулою:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathrm {d} \omega (X_{0},\ldots ,X_{k})&=&\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}X_{i}(\omega (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k}))\\[0.5em]&+&\sum _{0\leq i<j\leq k}(-1)^{i+j}\omega ([X_{i},X_{j}],X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k})\end{array}}}$

де символ ^ у виразі ${\displaystyle {\hat {X}}_{i}}$ означає, що вказане векторне поле не є аргументом відповідної диференціальної форми, а ${\displaystyle [.,.]}$ позначає дужки Лі векторних полів.

Якщо ${\displaystyle \nabla }$ є афінною зв'язністю із нульовим крученням на многовиді, тобто ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],}$ то зовнішню похідну можна також записати за допомогою оператора коваріантної похідної:

${\displaystyle \mathrm {d} \omega (X_{0},\ldots ,X_{k})=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}D_{X_{i}}\omega (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k})}$

Ця рівність є справедливою, зокрема для зв'язності Леві-Чивіти у рімановій геометрії.