Теорема Банаха — Штейнгауза

Результат про властивості класів неперервних відображень, що діють на лінійних топологічних просторах.

Покладаємо, що ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ є топологічними векторними просторами; ${\displaystyle \Gamma }$ — набір неперервних лінійних відображень із ${\displaystyle X}$ у ${\displaystyle Y}$, а ${\displaystyle B}$ — множина усіх ${\displaystyle x\in X}$, що їх орбіти ${\displaystyle \Gamma :=\{\Lambda (x)|\Lambda \in \Gamma \}}$ обмежені у ${\displaystyle Y}$.

Якщо тепер ${\displaystyle B}$ є множиною другої категорії[1] у ${\displaystyle X}$, то ${\displaystyle B=x}$ і ${\displaystyle \Gamma }$ — рівномірно неперерна[2][3][4].

Дамо також наступне формулювання, застосовне в багатьох часткових випадках:

Нехай, ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ — повні метричні простори, ${\displaystyle \Gamma :=\{\Lambda |\Lambda :X\rightarrow Y\}}$ — набір неперервних лінійних відображень; також, ${\displaystyle \forall x\in X,\ {\underset {\Lambda \in \Gamma }{\sup }}\|\Lambda (x)\|<\infty }$.

Тоді ${\displaystyle {\underset {\Lambda \in \Gamma }{\sup }}\|\Lambda \|<\infty }$[4].

Простір ${\displaystyle X}$ у точній верхній межі у другому формулюванні можна замінити на будь-яку підмножину другої категорії в ${\displaystyle X}$. У принципі рівномірної обмеженості простори можна вважати локально опуклими[5] за умови ${\displaystyle X}$ — бочковий простір[6]. Вкажемо тут означення бочкового простору. Множина ${\displaystyle A}$ — збалансована, якщо ${\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {C} ,\ |\alpha |\leq 1:\alpha A\subset A}$ (поелементне множення на скаляр); збалансована множина є поглинаючою, якщо ${\displaystyle \forall x\in X\ \exists \alpha :x\in \alpha A}$. Тепер бочковий простір — той, у якому кожна замкнена збалансована поглинаюча опукла множина є околом нуля.

Теорема може бути доведена з використанням теореми Бера про категорії.