Теорема Бера про категорії

Повні метричні простори і локально компактні гаусдорфові простори належать до просторів другої категорії Бера.

Припустимо, що ${\displaystyle X=\bigcup _{k=1}^{\infty }G_{k}}$ і кожна множина ${\displaystyle G_{k}\;(k=1,\;2,\;\ldots )}$ є ніде не щільною в X. Нехай ${\displaystyle B_{0}}$ — деяка замкнена куля радіуса 1. Оскільки множина ${\displaystyle G_{1}}$ є ніде не щільною, існує замкнена куля ${\displaystyle B_{1}}$, радіус якої є меншим 1/2, така що ${\displaystyle B_{1}\subset B_{0}}$ і ${\displaystyle G_{1}\cap B_{1}=\emptyset .}$

Оскільки множина ${\displaystyle G_{2}}$ є ніде не щільною, існує замкнена куля ${\displaystyle B_{2}}$, радіус якої є меншим ${\displaystyle {1 \over 2^{2}},}$ така що ${\displaystyle B_{2}\subset B_{1}}$ і ${\displaystyle G_{2}\cap B_{2}=\emptyset .}$

Продовжуючи цей процес, ми отримаємо послідовність вкладених одна в одну замкнених куль ${\displaystyle B_{k}}$, радіуси яких прямують до нуля. За принципом вкладених куль існує точка ${\displaystyle x\in \bigcap _{k=1}^{\infty }B_{k}\cap X.}$ Оскільки за побудовою ${\displaystyle G_{k}\cap B_{k}=\emptyset ,}$ то ${\displaystyle x\not \in G_{k},\ \forall k\in \mathbb {N} .}$ Як наслідок ${\displaystyle x\not \in \bigcup _{k=1}^{\infty }G_{k},}$ що суперечить припущенню, що ${\displaystyle X=\bigcup _{k=1}^{\infty }G_{k}.}$

У випадку локально компактного гаусдорфового простору індуктивно будується послідовність відкритих множин ${\displaystyle B_{k}}$ така, що для кожного ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\bar {B}}_{k+1}\subset B_{k}\cap G_{k}}$ і замикання множини ${\displaystyle B_{k}}$ є компактним. Тоді послідовність множин ${\displaystyle {\bar {B}}_{k}}$ утворює систему вкладених замкнутих підмножин в компактному гаусдорфовому просторі ${\displaystyle {\bar {B}}_{1}}$ і тому має непорожній перетин згідно властивості скінченного перетину.

Як застосування категорій Бера, можна показати, що множина ірраціональних точок ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ не може бути множиною всіх точок розриву деякої функції на дійсній прямій. Множина всіх точок розриву будь-якої функції ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ є зліченним об'єднанням замкнутих множин ${\displaystyle E_{n}}$, що складаються з тих точок, в яких коливання функції ${\displaystyle f}$ є не меншим, ніж ${\displaystyle 1/n}$. Якби шукана функція існувала, множини ${\displaystyle E_{n}}$ були б ніде не щільними, оскільки їх об'єднання не має внутрішніх точок. З цього випливало б, що множина ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ є множиною першої категорії в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ і з того, що її доповнення теж є множиною першої категорії, то і весь простір ${\displaystyle \mathbb {R} }$ був би простором першої категорії, що суперечить його повноті.