Теорема Веєрштрасса про цілі функції

Нехай задана скінченна або зліченна послідовність комплексних чисел ${\displaystyle z_{k}}$, які вважатимемо занумерованими так що ${\displaystyle |z_{1}|\leqslant |z_{2}|\leqslant ...\leqslant |z_{k}|\leqslant ...}$ і для яких ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }z_{k}=\infty .}$

Тоді існує ціла функція ${\displaystyle f(z)}$, для якої ${\displaystyle z_{k}}$ є множиною всіх нулів і в кожній точці кратність нуля є такою, скільки раз це число є в послідовності ${\displaystyle z_{k}}$.

Якщо ж деяка ціла функція ${\displaystyle f(z)}$ має в точці 0 — нуль порядка ${\displaystyle \lambda }$ і також має своїми нулями числа з послідовності ${\displaystyle z_{k}}$ (з урахування кратності; ця кількість є не більш ніж зліченною), то для цієї функції справедлива факторизація:

${\displaystyle f(z)=z^{\lambda }e^{h(z)}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p_{n}}\right)}$

де ${\displaystyle h}$ — деяка ціла функція, а невід'ємні цілі числа ${\displaystyle p_{n}}$ такі, що збігається ряд

${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }\left|{\frac {z}{z_{n}}}\right|^{p_{n}+1}.}$

Без обмеження загальності можна вважати, що ${\displaystyle z_{1}\neq 0.}$ В іншому разі замість функції ${\displaystyle f(z)}$ всюди можна розглядати функцію ${\displaystyle {\frac {f(z)}{z^{\lambda }}},}$ де ${\displaystyle \lambda }$ — порядок нуля в точці 0. Підберемо невід'ємні цілі числа ${\displaystyle p_{n}}$ так, що в довільному крузі ${\displaystyle |z|\leqslant R,}$ ряд ${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }\left|{\frac {z}{z_{n}}}\right|^{p_{n}+1}}$ був абсолютно і рівномірно збіжним. Достатньо, наприклад, взяти ${\displaystyle n=p_{n}+1.}$

При такому виборі ${\displaystyle p_{n}(z)}$ нескінченний добуток

${\displaystyle f(z)=\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p_{n}}\right)}$

збігається на довільній компактній множині ${\displaystyle K}$.

Для доведення цього факту розглянемо функцію:

${\displaystyle g(\xi ,p)=(1-\xi )\exp \left(\xi +{\frac {1}{2}}\xi ^{2}+\dots +{\frac {1}{p}}\xi ^{p}\right).}$

Її логарифм рівний:

${\displaystyle \ln g(\xi ,p)=\ln(1-\xi )+\xi +{\frac {1}{2}}\xi ^{2}+\dots +{\frac {1}{p}}\xi ^{p}=-{\frac {1}{p+1}}\xi ^{p+1}-{\frac {1}{p+2}}\xi ^{p+2}-\ldots }$

При ${\displaystyle |\xi |\leqslant q<1}$ справедливою є оцінка:

${\displaystyle |\ln g(\xi ,p)|<|\xi |^{p+1}(1+\xi +\ldots )\leqslant {\frac {|\xi |^{p+1}}{1-q}}.}$

Позначимо ${\displaystyle K_{n}:=\{z\in \mathbb {C}$ :|z|<q|z_{n}|\}.} Для довільної компактної множини ${\displaystyle K}$ існує натуральне число ${\displaystyle N,}$ таке що ${\displaystyle K\subset K_{n},\;\forall n\geqslant N.}$

Для всіх так визначених ${\displaystyle n}$ з попередніх оцінок маємо, що

${\displaystyle \left|\ln g\left({\frac {z}{z_{n}}},p_{n}\right)\right|\leqslant {\frac {1}{1-q}}\left|{\frac {z}{z_{n}}}\right|^{p_{n}+1}.}$

Тоді ряд ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }\left(\ln g\left({\frac {z}{z_{n}}},p_{n}\right)\right)=g_{N}(z)}$ на ${\displaystyle K}$ мажорується збіжним рядом ${\displaystyle \sum _{N}^{\infty }\left|{\frac {z}{z_{n}}}\right|^{p_{n}+1}}$ і відповідно ${\displaystyle g_{N}(z)}$ є голоморфною на ${\displaystyle K}$ функцією.

Як наслідок нескінченний добуток

${\displaystyle \prod _{n=N}^{\infty }g\left({\frac {z}{z_{n}}},p_{n}\right)=\exp(g_{N}(z))=f_{N}(z)}$

є збіжним і визначає голоморфну на ${\displaystyle K}$ функцію, що не рівна нулю на всій множині ${\displaystyle K}$.

Визначена раніше функція ${\displaystyle f(z)}$ відрізняється від ${\displaystyle f_{N}(z)}$ добутком на ${\displaystyle \prod _{n=1}^{N-1}g\left({\frac {z}{z_{n}}},p_{n}\right).}$

Цей добуток має нулі в точках ${\displaystyle z_{1}(z),\ldots ,z_{N-1}(z)}$ і лише в них. Це ж справедливо і для ${\displaystyle f(z)}$ на множині ${\displaystyle K}$.

Оскільки ${\displaystyle K}$ — довільна компактна множина то ${\displaystyle f(z)}$ — ціла функція і має в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ задані нулі з урахуванням кратності.

Якщо тепер ${\displaystyle f(z)}$ — довільна ціла функція, що немає нуля в точці 0 (в іншому разі знову ж можна розглядати функцію ${\displaystyle {\frac {f(z)}{z^{\lambda }}},}$) то позначивши її полюси так що ${\displaystyle |z_{1}|\leqslant |z_{2}|\leqslant ...\leqslant |z_{k}|\leqslant ...}$ і побудувавши, як і вище нескінченний добуток

${\displaystyle f_{0}(z)=\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p_{n}}\right)}$

отримуємо, що частка ${\displaystyle f(z)/f_{0}(z)}$ є цілою функцією без нулів і функція ${\displaystyle h(z)=\ln f(z)/f_{0}(z)}$ є необмежено продовжуваною в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ і згідно теореми про монодромію є цілою функцією.

Нижче подано приклади факторизації для деяких цілих функцій:

• ${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)e^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$

• ${\displaystyle \cos \pi z=\prod _{q\in \mathbb {Z} ,\,q\;{\text{odd}}}\left(1-{\frac {2z}{q}}\right)e^{2z/q}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2n+1)^{2}}}\right)}$

• Ціла функція
• Теорема Міттаг-Лефлера

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). Weierstrass theorem. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.

• Шабат, Б. В. (1976). Введение в комплексный анализ, ч. I. «Наука».
• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable (вид. 2nd). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2905-X.