Теорема Міттаг-Лефлера

Нехай задана скінченна або зліченна послідовність різних комплексних чисел ${\displaystyle z_{k}}$ для яких ${\displaystyle |z_{1}|\leqslant |z_{2}|\leqslant ...\leqslant |z_{k}|\leqslant ...}$ і ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }z_{k}=\infty .}$ Нехай також задані функції:

${\displaystyle g_{n}(z)=\sum _{i=1}^{p_{n}}{\frac {c_{-i}^{(n)}}{(z-z_{n})^{i}}},}$

які можна інтерпретувати як головні частини рядів Лорана деяких мероморфних функцій в точках ${\displaystyle z_{k}.}$

Тоді існує мероморфна функція ${\displaystyle f(z)}$ для якої ${\displaystyle z_{k}}$ є множиною всіх полюсів і головна частина функції ${\displaystyle f(z)}$ в точці ${\displaystyle z_{n}}$ є рівною ${\displaystyle g_{n}(z).}$

Якщо ж деяка мероморфна функція ${\displaystyle f(z)}$ має своїми полюсами множину ${\displaystyle z_{k}}$ (з властивостей мероморфних функцій випливає, що ця множина є не більш, ніж зліченною) і головна частина функції ${\displaystyle f(z)}$ в точці ${\displaystyle z_{n}}$ є рівною ${\displaystyle g_{n}(z),}$ то для цієї функції справедливий розклад Міттаг-Лефлера:

${\displaystyle f(z)=h(z)+\sum _{n=1}^{\infty }\left(g_{n}(z)-P_{n}(z)\right),}$

де ${\displaystyle h}$ — деяка ціла функція, а ${\displaystyle P_{n}}$ — деякі многочлени і ряд в правій стороні рівності збігається рівномірно на компактних множинах. В даному випадку ряд називається збіжним (рівномірно збіжним) на компактній множині, якщо лише скінченна кількість його доданків має полюси на цій множині і після видалення цих доданків інші збігаються (рівномірно збігаються) на множині.

Без обмеження загальності можна вважати, що ${\displaystyle z_{1}\neq 0.}$ В іншому разі замість функції ${\displaystyle f(z)}$ можна розглядати функцію ${\displaystyle f(z)-g_{1}(z).}$

Зафіксуємо дійсне число ${\displaystyle 0<q<1,}$ і позначимо ${\displaystyle K_{n}:=\{z\in \mathbb {C}$ :|z|<q|z_{n}|\}.} Оскільки функція ${\displaystyle g_{n}(z)}$ є голоморфною в крузі ${\displaystyle \{|z|<|z_{n}|\}}$ і ${\displaystyle K_{n}}$ є підмножиною цього круга то ${\displaystyle g_{n}(z)}$ можна рівномірно на в ${\displaystyle K_{n}}$ наблизити многочленом Тейлора:

${\displaystyle P_{n}(z)=\sum _{i=0}^{m_{n}}{\frac {g_{n}^{(i)}(0)}{k!}}z^{k},}$

де степінь многочлена ми виберемо так, щоб для всіх ${\displaystyle z\in K_{n}}$ було ${\displaystyle |g_{n}(z)-P_{n}(z)|<{\frac {1}{2^{n}}}.}$

При такому виборі ${\displaystyle P_{n}(z)}$ розглянемо ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(g_{n}(z)-P_{n}(z)\right)=f(z)}$.

Для довільної компактної множини ${\displaystyle K}$ існує натуральне число ${\displaystyle N,}$ таке що ${\displaystyle K\subset K_{n},\;\forall n>N.}$

Тоді всі члени ряду ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }\left(g_{n}(z)-P_{n}(z)\right)=f_{N}(z)}$ є голоморфними на ${\displaystyle K}$, і цей ряд мажорується збіжною геометричною прогресією ${\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}.}$

Отже даний ряд збігається на рівномірно на ${\displaystyle K}$ і за теоремою Вейєрштраса його сума є голоморфною функцією в ${\displaystyle K}$.

Функція ${\displaystyle f(z)}$ відрізняється від ${\displaystyle f_{N}(z)}$ на раціональну функцію

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N-1}\left(g_{n}(z)-P_{n}(z)\right)}$

що має полюси в точках ${\displaystyle z_{1}(z),\ldots ,z_{N-1}(z)}$ і відповідні головні частини рівні ${\displaystyle g_{1}(z),\ldots ,g_{N-1}(z).}$

Тобто на множині ${\displaystyle K}$ функція ${\displaystyle f(z)}$ має задані полюси і головні частини. Так як ${\displaystyle K}$ — довільна компактна множина то ${\displaystyle f(z)}$ — мероморфнамфункція і має в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ задані полюси і головні частини.

Якщо тепер ${\displaystyle f(z)}$ — довільна мероморфна функція, що немає полюса в нулі (в іншому разі знову ж можна розглядати функцію ${\displaystyle f(z)-g_{1}(z)}$) то позначивши її полюси так що ${\displaystyle |z_{1}|\leqslant |z_{2}|\leqslant ...\leqslant |z_{k}|\leqslant ...}$ і побудувавши, як і вище суму ряду ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(g_{n}(z)-P_{n}(z)\right)=f_{0}(z)}$ отримуємо, що різниця ${\displaystyle f(z)-f_{0}(z)}$ є цілою функцією, що завершує доведення.

Нижче подні приклади розкладу Міттаг-Лефлера для деяких мероморфних функцій:

• ${\displaystyle {\frac {1}{\sin(z)}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {2z}{z^{2}-n^{2}\pi ^{2}}}}$

• ${\displaystyle \cot(z)\equiv {\frac {\cos(z)}{\sin(z)}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2z}{z^{2}-k^{2}\pi ^{2}}}}$

• ${\displaystyle {\frac {1}{\sin ^{2}(z)}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(z-n\pi )^{2}}}}$

• ${\displaystyle {\frac {1}{z\sin(z)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\pi n(z-\pi n)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\pi }}{\frac {2z}{z^{2}-\pi ^{2}n^{2}}}}$

• Мероморфна функція
• Ряд Лорана
• Теорема Вейєрштраса про цілі функції

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). Mittag-Leffler theorem. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.

• Шабат, Б. В. (1976). Введение в комплексный анализ, ч. I. «Наука».
• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable (вид. 2nd). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2905-X.