Необхідна і достатня умова

Перебування сонця над обрієм є необхідною умовою для прямого сонячного освітлення; але це недостатня умова, бо щось інше може відкидати тінь, наприклад, у випадку затемнення.

Судження P є необхідною умовою судження Х, коли із (істинності) Х випливає (істинність) Р. Тобто, якщо Р хибно, то запевне хибно і Х.

Для суджень Х типу «об’єкт належить до класу М» таке судження Р зветься властивістю (елементів) М.

Вимога необхідності P для Q в розмовній мові тотожна до тверджень «Q не може бути істинним, якщо P не істинне» або «якщо P хибне тоді Q хибне.» За законом контрпозиції це те саме, що «якщо Q істинне, тоді істинне P». Логічний зв'язок між ними виражається як «Якщо Q, тоді P» і записується як «Q ${\displaystyle \Rightarrow }$ P» (Q має на увазі (імплікує, тягне за собою) P), і також може бути виражений як «P, якщо Q»; «P завжди коли Q.» Часто можна зустріти декілька необхідних умов, які разом, складають необхідну умову, як показано в прикладі 3.

Приклад 1: Уявіть грім, технічно, звукова ознака продемонстрована ударною хвилею, яка неминуче завершує блискавку в атмосфері. Тож, ми можемо чесно сказати, що блискавка необхідна для грому, бо грім не може відбутися без блискавки. Це значить, якщо стався грім, тоді була блискавка.

Приклад 2: Мати 30 років необхідно для служіння в американському Сенаті. До досягнення цього віку, неможливо стати сенатором. Тож, якщо ви сенатор, значить вам щонайменше 30 років.

Приклад 3: В алгебрі, для формування множиною S разом із операцією ${\displaystyle \star }$ групи, необхідно, щоб ${\displaystyle \star }$ була асоціативною. Також необхідно, щоб S містила особливий елемент e такий, що для кожного x в S вірно, що e ${\displaystyle \star }$ x і x ${\displaystyle \star }$ e обидва дорівнюють x. Іще необхідно, щоб для кожного x в S існував відповідний x« такий, що x ${\displaystyle \star }$ x» і x" ${\displaystyle \star }$ x дорівнювали особливому елементу e. Жодна з цих трьох необхідних умов не є достатньою, але кон'юнкція трьох є.

Те, що поїзд рухається за розкладом, зазвичай, достатня умова для прибуття вчасно (якщо поїзд прибуває вчасно і пасажир приїхав на ньому, вочевидь він прибуде вчасно); але це не завжди необхідна умова, бо існують інші можливості пересуватись (якщо поїзд не прибув вчасно, пасажир може використати інший вид транспорту.

Судження Q є достатньою умовою судження Х, коли з (істинності) Q випливає (істинність) X, тобто у випадку істинності Q перевіряти Х вже не треба.

Для суджень Х типу «об'єкт належить до класу М» таке судження Q зветься ознакою (елементів) М.

Сказавши, що P достатньо для Q, ми кажемо, що знання істинності P достатній ґрунт для умовиведення, що істинно Q. (Те саме, що знання хибності P не дає достатніх обґрунтувань для умовиведення, що Q хибне також.) Логічний зв'язок виражається так «Якщо P тоді Q» або «P ${\displaystyle \Rightarrow }$ Q,» і також може бути виражений як «P тягне за собою Q.» Декілька достатніх умов разом, можуть утворювати необхідну умову, як показано в прикладі 3.

Приклад 1: Явище грому є достатньою умовою блискавки в сенсі людини, що почула грім і однозначно розпізнала його, доходить висновку, що була блискавка.

Приклад 2: Підписання президентом законопроєкту прийнятого парламентом є достатньою умовою, щоб зробити законопроєкт законом. Але якщо президент відхилить закон через накладання вето, то парламент може подолати це вето і зробити закон законопроєктом.

Приклад 3: Позначення центру карти однією великим вином (♠) достатньо для того, щоб карта була тузом. Три інші умови про позначення центру карти бубною (♦), чирвою (♥) або трефою (♣), відповідно. Жодна з цих умов не є необхідною для буття карти тузом, але їх диз'юнкція так, бо жодна з карт не може бути тузом без виконання хоча б однієї (в дійсності, рівно однієї) з цих умов.

Стверджувати, що P є необхідною і достатньою для Q це те саме, що казати P необхідне для Q і P достатньо для Q. Звісно, це можна розуміти як два інших твердження, P і Q необхідні одне для одного. І в третій спосіб, як ствердження, що вони є достатніми одне для одного. Можна підсумовувати будь-яке і таким чином всі ці твердження як «P тоді і тільки тоді, коли Q,» що записується як P ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Q.

Наприклад, в теорії графів граф G називається дводольним, якщо можливо призначити кожній його вершині білий або чорний колір таким чином, що кожне ребро G має на кінцях вершини різних кольорів (іншими словами, його хроматичне число дорівнює 2). І для кожного графа, щоб бути дводольним необхідно і достатньо не містити непарної довжини циклів. Тобто, знаходження в графі непарної довжини циклу гарантує його невдоволеність і навпаки.

Судження X: «Петро отримує стипендію».
Необхідна умова P: «Петро — студент».
Достатня умова Q: «Петро вчиться в вузі без трійок».

З того, що Петро — студент, ще не випливає, що він отримує стипендію. Але ця умова необхідна, тобто якщо Петро не студент, то він запевне не отримує стипендію.

Якщо ж Петро вчиться в вузі без трійок, то він запевне отримує стипендію. Тим не менш, студент Петро може отримувати стипендію (у вигляді допомоги), якщо він вчиться з трійкам, але, наприклад, має хронічне захворювання.

В імплікації A → B
A - це достатня умова
B - необхідна умова

• Імплікація
• Критерій

• Необхідні і достатні умови // Літературознавча енциклопедія : у 2 т. / авт.-уклад. Ю. І. Ковалів. — Київ : ВЦ «Академія», 2007. — М — Я. — С. 114.
• Вебпосібник з критичного мислення: Необхідні і достатні умови (англ.)
• Університет Симона Фрайзера: Концепції з прикладами (англ.)