Теорема Діні

Припустимо, що послідовність зростаюча.

Для довільного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ і довільної точки ${\displaystyle t\in E}$ існує такий номер ${\displaystyle n(t),}$ що при ${\displaystyle m\geqslant n(t)}$ виконується нерівність ${\displaystyle g(t)-f_{m}(t)\leqslant \varepsilon /3}$. Так як g і ${\displaystyle f_{n(t)}}$ неперервні, у точки t існує такий окіл V (t), що з ${\displaystyle t'\in V(t)}$ випливає ${\displaystyle |g(t)-g(t')|\leqslant \varepsilon /3}$ і ${\displaystyle |f_{n(t)}(t)-f_{n(t)}(t')|\leqslant \varepsilon /3.}$

Таким чином, для будь-якої точки ${\displaystyle t'\in V(t)}$ ми маємо ${\displaystyle |g(t')-f_{n(t)}(t')|\leqslant \varepsilon .}$

Виберемо тепер скінченну множину точок ${\displaystyle t_{i}\in E}$ так, щоб околи ${\displaystyle V(t_{i})}$ покривали Е (це можливо, зважаючи на компактність E), і нехай ${\displaystyle n_{0}}$ — найбільший з номерів ${\displaystyle n(t_{i}).}$

Тоді будь-яка точка ${\displaystyle t\in E}$ належить принаймні одному з околів ${\displaystyle V(t_{i}),}$ тому при ${\displaystyle n\geqslant n_{0}}$ справедливі нерівності ${\displaystyle g(t)-f_{n}(t)\leqslant g(t)-f_{n_{0}}(t)\leqslant g(t)-f_{n(t_{i})}(t),\,\forall t\in E.}$

• Дьедонне Ж. Основы современного анализа, — М. Мир, 1964 (рос.)