Теорема Кебе про чверть

Нехай

${\displaystyle g(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots }$

є однолистою функцією у |z| < 1. Тоді

${\displaystyle |a_{2}|\leqslant 2.}$

Розглянемо функцію ${\displaystyle G(z)={\sqrt {g(z^{2})}}=z+1/2a_{2}z^{3}+\cdot .}$ Вона теж є однолистою на одиничному крузі.

Справді, якщо ${\displaystyle G(z_{1})=G(z_{2}),}$ то також: ${\displaystyle G(z_{1})^{2}=G(z_{2})^{2}}$ тобто ${\displaystyle f(z_{1}^{2})=f(z_{2}^{2}).}$ Оскільки ${\displaystyle f(z^{2})}$ — однолиста функція, то з останньої рівності випливає:${\displaystyle z_{1}^{2}=z_{2}^{2}}$ тобто або ${\displaystyle z_{1}=z_{2}}$ або ${\displaystyle z_{1}=-z_{2}.}$ Остання ж гіпотеза суперечить умові ${\displaystyle G(z_{1})=G(z_{2})}$ бо внаслідок непарності функції ${\displaystyle G(z)}$ мали б при цій гіпотезі${\displaystyle G(z_{1})=G(z_{2}).}$ Таким чином ${\displaystyle G(z)}$ дійсно є однолистою функцією у одиничному крузі.

Тоді функція ${\displaystyle F(z)={1 \over G(z^{1})}}$ є однолистою у зовнішній області одиничного круга |z| > 1 і для цю функцію можна записати як суму ряду:

${\displaystyle F(z)=z-{1 \over 2}a_{2}z^{-1}+\cdots .}$

З теореми Ґронвала про площу ${\displaystyle {\frac {|a_{2}|}{2}}\leqslant 1}$ і тому ${\displaystyle |a_{2}|\leqslant 2.}$

Після застосування афінного відображення можна вважати

${\displaystyle f(0)=0,\,\,\,f^{\prime }(0)=1,}$

і розклад функції у ряд Тейлора має вид

${\displaystyle f(z)=z+a_{2}z^{2}+\cdots .}$

Якщо w не належить f(D), то функція

${\displaystyle h(z)={wf(z) \over w-f(z)}=z+(a_{2}+w^{-1})z^{2}+\cdots }$

є голоморфною однолистою у |z| < 1.

Застосовання нерівності Бібербаха до h дає

${\displaystyle |w|^{-1}\leqslant |a_{2}|+|a_{2}+w^{-1}|\leq 4,}$

і тому

${\displaystyle |w|\geqslant {1 \over 4}.}$