Теорема Круля

Теорема Круля в абстрактній алгебрі стверджує існування максимального ідеалу в довільному кільці з одиницею. Теорема названа на честь німецького математика Вольфганга Круля, що довів її у 1926 році[1]. У 1978 році Вілфрід Ходжес довів, що з теореми Круля випливає лема Цорна.[2]. Відповідно твердження теореми еквівалентно аксіомі вибору.

Твердження

Нехай R — нетривіальне кільце з одиницею. Тоді для довільного ідеалу існує максимальний ідеал J, такий що Зокрема якщо взяти ідеал то звідси випливає існування максимального ідеалу для довільного кільця з одиницею.

Доведення

Нехай S — множина власних ідеалів R, що містять I. Множина S є непорожньою, оскільки I є елементом S. S є частково впорядкованою множиною щодо включення підмножин. Для довільної лінійно впорядкованої підмножини T елементів S, об'єднання ідеалів з T є також ідеалом . Цей ідеал є власним (оскільки 1 не належить жодному власному ідеалу з S і, відповідно з T). Тому згідно з лемою Цорна у множині S є максимальний елемент, що і буде максимальним ідеалом, що містить I.

Див. також

Примітки
  1. W. Krull, Die Idealtheorie in Ringen ohne Endlicheitsbedingungen, Mathematische Annalen 10 (1929), 729–744
  2. Wilfrid Hodges (1978), Krull Implies Zorn, Journal London Mathematical Society, Volume s2-19, 2, pp 285–287

Посилання
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.