Максимальний ідеал

• Характеристична властивість максимального ідеалу: ідеал ${\displaystyle I\,}$ кільця ${\displaystyle R\,}$ максимальний, тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце ${\displaystyle R/I\,}$ є простим кільцем.

Дійсно, якщо кільце ${\displaystyle R/I\,}$ має власний ідеал ${\displaystyle M\,}$, то ${\displaystyle I+M}$ буде власним ідеалом кільця ${\displaystyle R\,}$, що суперечить максимальності ідеалу ${\displaystyle I\,}$.

Далі всі кільця вважаються кільцями з одиницею

• Теорема Круля: Множина всіх ідеалів кільця індуктивно впорядкована відношенням включення, тому згідно з (лемою Цорна) у довільному кільці з одиницею існують максимальні ідеали, окрім того, для будь-якого власного ідеалу ${\displaystyle \ I}$ кільця ${\displaystyle \ R}$ існує максимальний ідеал кільця ${\displaystyle \ R}$, який його містить.

• Якщо елемент ${\displaystyle a\,}$ кільця ${\displaystyle R\,}$ не оборотний, тоді всі елементи кільця, кратні йому, утворюють власний ідеал. Тому кожен необоротний елемент кільця міститься в деякому максимальному ідеалі. Якщо елемент ${\displaystyle a\,}$ оборотний, всякий ідеал, який його містить, збігається з кільцем, тому оборотні елементи не містяться в жодному власному ідеалі, і відповідно в жодному максимальному.

• Якщо всі необоротні елементи кільця ${\displaystyle R\,}$ утворюють ідеал, він є максимальним, і притому єдиним — інших максимальних ідеалів в кільці ${\displaystyle R\,}$ немає. (Вірним є і обернене твердження: якщо в кільці ${\displaystyle R\,}$ існує єдиний максимальний ідеал , він включає всі необоротні елементи кільця.) В цьому випадку кільце ${\displaystyle R\,}$ називається локальним.

• Для комутативного кільця ідеал ${\displaystyle I\,}$ є максимальним тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце по цьому ідеалу є полем.

• Якщо кільце ${\displaystyle \ R}$ має структуру банахової алгебри над полем комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , фактор-кільце по максимальному ідеалу ${\displaystyle \ R/I}$ ізоморфне ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . В цьому випадку ідеал ${\displaystyle \ I}$ визначає гомоморфізм кільця ${\displaystyle \ R}$ в полі ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , ядром якого є ідеал ${\displaystyle \ I}$.
  Для кожного a існує єдина ${\displaystyle \lambda _{a}}$, таке що ${\displaystyle a-\lambda _{a}e\in I}$ (e - одиниця алгебри R). Відповідність ${\displaystyle a\to \lambda _{a}}$ і є той самий гомоморфізм.

• З характеристичної властивості випливає, що довільний максимальний ідеал є простим.

Для кілець без одиниці максимальні ідеали можуть не бути простими. Наприклад в кільці парних цілих чисел ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ідеал ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ є максимальним, проте ${\displaystyle 2\cdot 2=4,}$ хоч ${\displaystyle 2\notin 4\mathbb {Z} .}$

• У кільці цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ максимальними ідеалами є всі прості ідеали: якщо p - просте число, тоді ідеал (p)=pZ максимальний. Наприклад, парні числа утворюють максимальний ідеал, а числа, кратні 4 - утворюють, але не максимальний - цей ідеал міститься в ідеалі парних чисел.
• У кільці многочленів k[X,Y], де k - алгебрично замкнуте поле, максимальні ідеали мають вигляд ${\displaystyle I_{a,b}=\{f\in k[X,Y]:f(a,b)=0\},\quad a,b\in k}$.
• Кільце формальних степеневих рядів ${\displaystyle k[[X]]}$ над полем k — локальне кільце. Необоротними елементами в цьому кільці є ті ряди вільний член яких рівний нулю. Вони утворюють ідеал,що є єдиний максимальним ідеалом у цьому кільці.
• У кільці R = C[a, b] неперервних функцій із значеннями у множині дійсних чисел на відрізку множина функцій, що приймають значення 0 в деякій точці ${\displaystyle x\in [a,b]}$ є максимальним ідеалом. Усі максимальні ідеали кільця R мають такий вигляд.

Якщо позначити ${\displaystyle I_{x}=\{f\in R|f(x)=0\}}$ для деякої точки ${\displaystyle x\in [a,b],}$ то I_x є ідеалом і фактор-кільце ${\displaystyle R/I_{x}}$ є ізоморфним полю дійсних чисел, тож I_x є максимальним ідеалом.

Навпаки, якщо I є власним ідеалом кільця R = C[a, b], то множина ${\displaystyle Z(I):=\bigcap _{f\in I}f^{-1}(\{0\})}$ є непустою, тобто існує точка ${\displaystyle x\in [a,b]}$ для якої ${\displaystyle f(x)=0}$ для всіх ${\displaystyle f\in I.}$ Справді якщо Z(I) є пустою множиною, то ${\displaystyle \{f^{-1}(\mathbb {R} \setminus \{0\}):f\in I\}}$ є відкритим покриттям [a, b] і через компактність відрізка можна вибрати скінченне підпокриття, наприклад для функцій ${\displaystyle f_{i},\ 1\leqslant i\leqslant n.}$ Тоді функція ${\displaystyle g(x)=\sum _{1=1}^{n}f(x)^{2}}$ належить I і в усіх точках [a, b] має ненульові значення. Оскільки ${\displaystyle 1/g\in C([a,b]),}$ то ${\displaystyle 1\in I}$ і I = R. Це суперечить припущенню, що I є власним ідеалом. Тому існує ${\displaystyle x\in [a,b]}$ для якої ${\displaystyle f(x)=0}$ для всіх ${\displaystyle f\in I.}$ Тоді I є підідеалом ідеалу ${\displaystyle I_{x}=\{f\in R|f(x)=0\},}$ який і є максимальним.

Теорема Круля гарантує існування максимального ідеалу для кілець з одиницею. Проте в кільцях без одиниці максимальні ідеали можуть не існувати. Прикладом такого кільця може бути кільце рядів: :${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{\alpha _{n}}}$ де ${\displaystyle a_{n}\in \mathbb {R} }$ і ${\displaystyle 0<\alpha _{1}<\alpha _{2}<\cdots }$ дійсні числа для яких ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\alpha _{n}=\infty }$.

Для ненульового такого ряду можна вважати ${\displaystyle a_{n}\neq 0.}$ Для ${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{\alpha _{n}}\in R}$ де ${\displaystyle 0<\alpha _{1}<\alpha _{2}<\cdots }$ і ${\displaystyle a_{1}\neq 0}$ визначимо ${\displaystyle \deg f=\alpha _{1}}$. Очевидно ${\displaystyle \deg(f\cdot g)=\deg f+\deg g}$ і R є областю цілісності без одиниці.

Припустимо I максимальний ідеал кільця R. Нехай ${\displaystyle S=\mathbb {R} +R}$ і ${\displaystyle g\in R\setminus I}$. Визначимо ${\displaystyle J=Sg}$. Тоді J є ідеалом R. Оскільки ${\displaystyle \forall h\in J:\ \deg h\geq \deg g,}$ то ${\displaystyle J\neq R}$.

Отже J є власним ідеалом в R. Також ${\displaystyle I\neq J}$ оскільки ${\displaystyle g\in J\setminus I}$. Нехай ${\displaystyle f\in I}$. Якщо f = 0, тоді очевидно ${\displaystyle f\in J}$. Розглянемо тепер ${\displaystyle f\neq 0}$. Припустимо ${\displaystyle \deg g>\deg f}$. Тоді ${\displaystyle {\frac {g}{f}}\in R}$ і звідси ${\displaystyle g\in Rf\subseteq I}$, що суперечить визначенню g. Тому ${\displaystyle \deg g\leq \deg f}$ і звідси ${\displaystyle {\frac {f}{g}}\in S}$. Отже ${\displaystyle f\in Sg=J}$. Відповідно ${\displaystyle I\subset J\subset R}$, що суперечить максимальності ідеалу ${\displaystyle I}$. ${\displaystyle \ \Box }$

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)