Формальний степеневий ряд

Формальний степеневий ряд — формальний алгебраїчний вираз виду:

F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},

в якому коефіцієнти ${a_{n}}$ належать деякому кільцю ${R}$ . На відміну від степеневих рядів у аналізі формальним степеневим рядам не надається числових значень і відповідно не має змісту збіжність таких рядів для числових аргументів. Формальні степеневі ряди досліджуються у алгебрі, топології, комбінаториці.

Алгебраїчні операції

В $R[[X]]$ можна наступним чином визначити додавання, множення, формальне диференціювання і формальну суперпозицію. Нехай:

F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},\qquad G(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n},\qquad H(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}.

Тоді:

H=F+G\iff \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n}

H=F\,\cdot \,G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{k+l=n}a_{k}b_{l}

H=F\circ G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{s=1}^{n}a_{s}\sum \limits _{k_{1}+\dots +k_{s}=n}b_{k_{1}}b_{k_{2}}\dots b_{k_{s}}

(при цьому необхідно щоб

b_{0}=0

)

H=F'\iff \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{n+1}

Таким чином формальні степеневі ряди утворюють кільце.

Топологія

В множині $R[[X]]$ також можна задати топологію, що породжується наступною метрикою:

d((a_{n}),(b_{n}))=2^{-k},\,\!

де k найменше натуральне число таке що a_k ≠ b_k;

Можна довести, що визначені множення і додавання в цій топології є неперервними, отже формальні степеневі ряди з визначеною топологією утворюють топологічне кільце.

Оборотні елементи

Формальний ряд:

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}

в R[[X]] є оборотним в R[[X]] тоді і лише тоді коли a₀ є оборотним в R. Це є необхідним оскільки вільний член добутку рівний $a_{0}b_{0}$ , і достатнім, оскільки коефіцієнти тоді визначаються за формулою:

{\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}}\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i}\qquad {\text{for }}n\geq 1.\end{aligned}}

Властивості

Максимальними ідеалами кільця формальних степеневих рядів є ідеали M для яких M ∩ R є максимальним ідеалом в R і M є породжене X і M ∩ R.
Якщо R є локальним кільцем, то локальним кільцем є також R[[X]]
R — кільце Нетер, то також R[[X]] є кільцем Нетер .
Якщо R — область цілісності, то R[[X]] також буде областю цілісності.
Метричний простір (R[[X]], d) є повним.
Кільце R[[X]] є компактним тоді коли кільце R є скінченним.

Див. також

Посилання

Формальні степеневі ряди на сайті PlanetMath.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.