Теорема Лебега про щільність

Теорема Лебега про щільність — результат теорії міри, який інтуїтивно можна розуміти так, що множина «граничних точок» вимірної множини має міру нуль.

Твердження

Позначимо через $\lambda$ міру Лебега на евклідовому просторі $\mathbb {R} ^{n}$ . Нехай $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ — вимірна множина. Для довільної точки $x\in \mathbb {R} ^{n}$ і $\varepsilon >0$ розглянемо значення

d_{\varepsilon }(x)={\frac {\lambda (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\lambda (B_{\varepsilon }(x))}}

,

де $B_{\varepsilon }(x)$ позначає кулю з центром в $x$ і радіусом $\varepsilon$ . Величину $d_{\varepsilon }(x)$ можна інтерпретувати як приблизна щільність множини $A$ в точці $x$ .

тоді

d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)

існує і дорівнює 1 для майже кожної точки $x\in A$ .

Зауваження

Величина $d(x)$ , якщо визначена, називається щільністю множини $A$ в точці $x$ .
Інакше кажучи, теорема стверджує, що щільність будь-якої вимірної множини $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ приймає значення 0 або 1 майже всюди в $\mathbb {R} ^{n}$ .
Якщо множина і її доповнення мають додатну міру, то завжди знайдуться точки із щільністю не рівною 0 і 1.

Приклади

Наприклад, дано квадрат в площині, щільність в кожній точці всередині квадрата дорівнює 1, на сторонах 1/2, в вершинах по 1/4, і 0 поза квадрата; сторони і вершини квадрата є множинами міри нуль.

Варіації і узагальнення

Теорема про щільність є окремим випадком теореми Лебега про диференціювання.

Див. також

Теорема Лебега про диференціювання

Література

Натансон І. П. Теорія функцій дійсної змінної. — Москва, 1974.
Cohn, Donald L. (1997) [1980]. Measure theory (вид. reprint). Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag. с. IX+373. ISBN 3-7643-3003-1.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.