Теорема Лебега про диференціювання

Для інтегровної за Лебегом дійсно чи комплекснозначної функції f на Rⁿ, первісна є функцією множин, яка відображає вимірну множину A  у її інтеграл Лебега ${\displaystyle f\cdot \mathbf {1} _{A}}$, де ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ позначає характеристичну функція множини A. Зазвичай це позначається як

${\displaystyle \mapsto \int _{A}f\ \mathrm {d} \lambda ,}$

де λ є n–вимірною мірою Лебега.

Похідна цього інтегралу в точці x за означенням є

${\displaystyle \lim _{B\rightarrow x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f\,\mathrm {d} \lambda ,}$

де |B| позначає об'єм (тобто міру Лебега) кулі B  з центром у точці x, і B → x означає, що діаметр B  прямує до 0.Теорема Лебега про диференціювання (Lebesgue, 1910) стверджує, що ця похідна існує і є рівною f(x) для майже кожної точки x ∈ Rⁿ. Також справедливим є трохи сильніше твердження. Зауважимо, що:

${\displaystyle \left|{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} \lambda (y)-f(x)\right|=\left|{\frac {1}{|B|}}\int _{B}(f(y)-f(x))\,\mathrm {d} \lambda (y)\right|\leq {\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-f(x)|\,\mathrm {d} \lambda (y).}$

Сильнішим варіантом теореми є факт, що права сторона нерівності прямує до нуля для майже кожної точки x. Точки x для яких виконується така властивість називаються точками Лебега функції f.

У твердженні теореми кулі B  можна замінити сім'єю ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ множин U  для яких існує деяке число c > 0 таке, що кожна множина U  із ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ міститься у куліB  такій, що ${\displaystyle |U|\geq c\,|B|}$. Також припускається, що кожна точка x ∈ Rⁿ міститься у довільно малих множинах із ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$. Якщо ці множини стискаються до x, то виконується аналогічне твердження: для майже кожної точки x,

${\displaystyle f(x)=\lim _{U\rightarrow x,\,U\in {\mathcal {V}}}{\frac {1}{|U|}}\int _{U}f\,\mathrm {d} \lambda .}$

Прикладами такої сім'ї ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ є багатовимірні куби, а також сім'я ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$(m) прямокутників у R² для яких відношення сторін є у межах між m⁻¹ і m, для деякого m ≥ 1. Якщо на Rⁿ задана довільна норма, то ще одним прикладом є множина куль у метриці породженій цією нормою.

Одновимірний варіант теореми був доведений Лебегом у 1904 Lebesgue, (1904). Якщо f є інтегровною на дійсній прямій то функція

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$

є майже всюди диференційовною і ${\displaystyle F'(x)=f(x).}$

Нижче надано стандартне доведення слабшого варіанту теореми Benedetto та Czaja, (2009), Stein та Shakarchi, (2005), Wheeden та Zygmund, (1977) і Rudin, (1987).

Оскільки твердження є має локальний характер, f можна вважати рівною нулю за межами деякої кулі скінченного радіуса і тому інтегровною. Тоді достатньо довести, що множина

${\displaystyle E_{\alpha }={\Bigl \{}x\in \mathbf {R} ^{n}:\limsup _{|B|\rightarrow 0,\,x\in B}{\frac {1}{|B|}}{\bigg |}\int _{B}f(y)-f(x)\,\mathrm {d} y{\bigg |}>2\alpha {\Bigr \}}}$

має міру 0 для всіх α > 0.

Нехай задано ε > 0. Використовуючи щільність неперервних функцій із компактним носієм у L¹(Rⁿ), можна знайти функцію g , що задовольняє

${\displaystyle \|f-g\|_{L^{1}}=\int _{\mathbf {R} ^{n}}|f(x)-g(x)|\,\mathrm {d} x<\varepsilon .}$

Також можна записати:

${\displaystyle {\frac {1}{|B|}}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} y-f(x)={\Bigl (}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}{\bigl (}f(y)-g(y){\bigr )}\,\mathrm {d} y{\Bigr )}+{\Bigl (}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}g(y)\,\mathrm {d} y-g(x){\Bigr )}+{\bigl (}g(x)-f(x){\bigr )}.}$

Перший доданок можна обмежити значенням у точці x максимальної функції Гарді — Літлвуда для f − g, яка буде позначатися ${\displaystyle (f-g)^{*}(x)}$:

${\displaystyle {\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-g(y)|\,\mathrm {d} y\leq \sup _{r>0}{\frac {1}{|B_{r}(x)|}}\int _{B_{r}(x)}|f(y)-g(y)|\,\mathrm {d} y=(f-g)^{*}(x).}$

Другий доданок прямує до нуля при переході до границі, оскільки g є неперервною функцією і третій доданок є обмеженим |f(x) − g(x)|. Для того щоб абсолютне значення початкової різниці було більшим, ніж 2α при переході до границі, потрібно щоб хоча б один із першого і третього доданку був мав абсолютне значення більше α. Згідно оцінки максимальної функції Гарді — Літлвуда:

${\displaystyle {\Bigl |}\left\{x:(f-g)^{*}(x)>\alpha \right\}{\Bigr |}\leq {\frac {A_{n}}{\alpha }}\,\|f-g\|_{L^{1}}<{\frac {A_{n}}{\alpha }}\,\varepsilon ,}$

для деякої константи A_n, що залежить лише від розмірності n. Згідно нерівності Маркова:

${\displaystyle {\Bigl |}\left\{x:|f(x)-g(x)|>\alpha \right\}{\Bigr |}\leq {\frac {1}{\alpha }}\,\|f-g\|_{L^{1}}<{\frac {1}{\alpha }}\,\varepsilon }$

тому

${\displaystyle |E_{\alpha }|\leq {\frac {A_{n}+1}{\alpha }}\,\varepsilon .}$

оскільки ε було довільним числом, яке можна вибрати як завгодно малим, то звідси випливає твердження теореми.

Теорема є узагальненням основної теореми аналізу, яка є твердженням про рівність інтегровної за Ріманом функції і похідної її первісної. Також можна розглядати обернене твердження, що кожна диференційовна функція є рівною інтегралу її похідної але для цього потрібно розглядати інтеграл Курцвеля — Хенстока для можливості інтегрування довільної похідної.

Осремим випадком теореми Лебега про диференціювання є теорема Лебега про щільність, яка є еквівалентною теоремі про диференціювання для характеристичних функцій вимірних множин.

Твердження теореми також є справедливим для кожної скінченної міри Бореля на Rⁿ замість міри Лебега і, більш загально для скінченної міри Бореля на сепарабельному метричному просторі, для якого виконується якась із умов:

• метричний простір є рімановим многовидом,
• метричний простір є локально компактним ультраметричним простором,
• міра задовольняє умову подвоєння.

• Lebesgue, Henri (1904). Leçons sur l'Intégration et la recherche des fonctions primitives. Paris: Gauthier-Villars.
• Lebesgue, Henri (1910). Sur l'intégration des fonctions discontinues. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure 27: 361–450.
• Wheeden, Richard L.; Zygmund, Antoni (1977). Measure and Integral – An introduction to Real Analysis. Marcel Dekker.
• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2005). Real analysis. Princeton Lectures in Analysis, III. Princeton, NJ: Princeton University Press. с. xx+402. ISBN 0-691-11386-6. MR2129625
• Benedetto, John J.; Czaja, Wojciech (2009). Integration And Modern Analysis. Birkhäuser Advanced Texts. Springer. с. 361–364. ISBN 0817643060.
• Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics (вид. 3rd). McGraw–Hill. ISBN 0070542341.
• Ledrappier, F.; Young, L.S. (1985). The Metric Entropy of Diffeomorphisms: Part I: Characterization of Measures Satisfying Pesin's Entropy Formula. Annals of Mathematics 122: 509–539. JSTOR 1971328. doi:10.2307/1971328.
• Federer, Herbert (1969). Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153. New York: Springer-Verlag New York Inc.