Вимірна множина

Множина називається вимірною щодо міри μ, якщо вона належить до σ-алгебри на якій визначена μ. Для підмножин евклідового простору, якщо міра не вказана, то вважається, що μ це міра Лебега.^{[джерело?]}

В сенсі Лебега

Множина $A$ називається вимірною (в сенсі Лебега), якщо для довільного $\varepsilon >0$ знайдеться така елементарна множина $B$ , що:

\mu ^{*}(A\triangle B)<\varepsilon

,

де:

$\mu ^{*}(A)$ — зовнішня міра множини. Якщо функція $\mu ^{*}(A)$ розглядається лише на вимірних множинах, то вона називається мірою Лебега.
$\triangle$ — симетрична різниця множин.

Іншими словами, якщо множина вимірна, то її можливо «як завгодно точно наблизити» елементарними множинами.

Сукупність ${\mathfrak {M}}_{E}$ вимірних множин замкнена відносно операцій взяття скінчених або злічених сум та перетинів (тобто, являє собою σ-алгебру).
Функція μ σ-адитивна на ${\mathfrak {M}}_{E}$ .
Доповнення вимірної множини також вимірна множина.
Сума та перетин скінченої кількості вимірних множин також вимірні множини.
Різниця та симетрична різниця двох вимірних множин також вимірна множина.
Довільна множина $A$ зовнішня міра якого дорівнює 0, є вимірним.

Не всі підмножини Евклідового простору вимірні в сенсі Лебега; прикладами невимірних множин є множина Віталі та невимірні множини, визначені в парадоксі Гаусдорфа, парадоксі Банаха-Тарського.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.