Теорема Паппа
Теорема Паппа — це класична теорема проєктивної геометрії. Вона формулюється наступним чином:
|
Нехай A, B, C — три точки на одній прямій, A' , B' , C' — три точки на іншій прямій. Нехай три прямі АВ' , BC' , CA' перетинають три прямі A'B, B'C, C'A, відповідно у точках X, Y, Z. Тоді точки X, Y, Z лежать на одній прямій. |
Нескладно бачити, що двоїсте формулювання до теореми Паппа є лише переформулюванням самої теореми.
|
Нехай прямі проходять через точку A, проходять через точку A'. перетинає та в точках B і C, перетинає та в точках C' і Z, перетинає та в точках B' і X. Тоді прямі BC', B'C та XZ перетинаються в одній точці (на кресленні — Y) або паралельні. |
Теорема Паппа є виродженим випадком в теоремі Паскаля: якщо замінити в теоремі Паскаля вписаний у конічний перетин шестикутник на вписаний у пару прямих, які перетинаються, то вона стане еквівалентною теоремі Паппа. Сам Паскаль вважав пару прямих конічним перетином (тобто вважав теорему Паппа окремим випадком своєї теореми).
Історія
Формулювання і доведення цієї теореми містяться в «Математичному зібранні» Паппа Олександрійського (початок IV століття н. е.). У Новий час теорема була опублікована видавцем і коментатором робіт Паппа Федеріко Коммандіно у 1566 році.
Доведення
Якщо відвести на нескінченність пряму XY, то теорема переходить в нескладне твердження про паралельність прямих, найпростіше доказуване з використанням гомотетії:
|
Нехай A, B, C — три точки на одній прямій, A' , B' , C' — три точки на інший прямий, при цьому AB' паралельно A'B, а BC' паралельно B'C. Тоді A'C паралельно AC'. |
Посилання
- Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Глава IV, § 5.3.