Теорема Паскаля

Теорема Паскаля — теорема проєктивної геометрії, яка свідчить, що

Якщо шестикутник вписаний в коло або будь-який інший конічний перетин (еліпс, параболу, гіперболу, навіть пару прямих), то точки перетину трьох пар протилежних сторін лежать на одній прямій.

Шестикутник вписаний в еліпс, точки перетину трьох пар протилежних сторін лежать на одній (червоній) прямій

Теорема Паскаля двоїста до теореми Бріаншона.

Історія

Вперше сформульована і доведена Блезом Паскалем у 16 років як узагальнення теореми Паппа. Цю теорему Паскаль взяв за основу свого трактату про конічні перетини. Сам трактат пропав і відомий лише його короткий зміст з листа Лейбніца, який під час свого перебування в Парижі мав його у своїх руках, і короткий виклад основних теорем цього трактату, складений самим Паскалем (Есе про конічні перетини).

Про доведення
  • Одне з доведень базується на підрахунку подвійних відношень.
  • Ще одне доведення ґрунтується на послідовному застосуванні теореми Менелая.
  • Проєктивним перетворенням можна перевести описану коніку в коло, при цьому умова теореми збережеться. Для кола теорема може бути доведена з існування ізогонального спряження.
    • У разі опуклого багатокутника, вписаного в коло, можна здійснити проєктивне перетворення, що залишає коло на місці, а пряму, що проходить через точки перетину двох пар протилежних сторін відвести на нескінченність. У цьому випадку твердження теореми стане очевидним.

Застосування
  • Дозволяє будувати конічний перетин по п'яти точках як геометричне місце точок відповідних шостій точці шестикутника в конфігурації.

Варіації і узагальнення

Теорема правильна і в тому випадку, коли дві або навіть три сусідніх вершини збігаються (але не більше ніж по дві в одній точці).

У цьому випадку як пряма, що проходить через дві вершини, що збігаються, приймається дотична до лінії в цій точці.

Зокрема:

Дотична до лінії 2-го порядку, проведена в одній з вершин вписаного п'ятикутника, перетинається зі стороною, протилежної цій вершині, в точці, яка лежить на прямій, що проходить через точки перетину інших пар несуміжних сторін цього п'ятикутника.


Якщо ABCD — чотирикутник, вписаний в лінію 2-го порядку, то точки перетину дотичних в вершинах С і D відповідно зі сторонами AD і ВС і точка перетину прямих А В і CD лежать на одній прямій.


Точки перетину дотичних в вершинах трикутника, вписаного в лінію 2-го порядку, з протилежними сторонами лежать на одній прямій.

Ця пряма називається прямою Паскаля даного трикутника.

Шестикутник ABCDEF (праворуч) вписаний в коло, точки перетину трьох пар продовжень його протилежних сторін лежать (ліворуч) на одній (синій) прямій MNP (пряма Паскаля)
Теорема правильна навіть для вписаного в коло шестикутника ABCDEF, що має самоперетини. Пари (кожна свого кольору — червоного, жовтого, синього) його протилежних продовжених сторін перетинаються на лінії Паскаля (біла)

У 1847 з'явилося узагальнення теореми Паскаля, зроблене Мебіусом, яке звучить так:

Якщо багатокутник з сторонами вписаний в конічний перетин і протилежні його сторони продовжені таким чином, щоб перетнутися в точці, то якщо цих точок лежать на прямій, остання точка теж буде лежати на цій прямій.

Теорема Кіркмана:

Нехай точки , , , , та лежать на одному конічному перетині. Тоді прямі Паскаля шестикутників , та перетинаються в одній точці.

  • Теорема про 9 точок на кубику

Посилання
  • Блез Паскаль. Опыт о конических сечениях с приложением письма Лейбница к Э. Перье. Перевод и комментарии Г. И. Игнациуса. // Историко-математические исследования. Выпуск XIV.
  • Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 2, § 16-19. М., 1883.
  • Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Глава IV, § 8.4.
  • Живые чертежи (на Java)
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 76-78. — ISBN 5-94057-170-0

Див. також
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.