Теорема Пойнтінга

Теорема може бути доведена з допомогою двох рівнянь Максвелла (для простоти вважаємо, що середовище — це вакуум (μ=1, ε=1); для загального випадку з довільним середовищем потрібно у формули до кожного ε₀ і μ₀ приписати ε і μ):

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Домноживши дві частини рівняння на ${\displaystyle \mathbf {B} }$, отримаємо:

${\displaystyle \mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=-\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Розглянемо спочатку рівняння Максвелла-Ампера:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}$

Домноживши дві частини рівняння на ${\displaystyle \mathbf {E} }$, отримаємо:

${\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mathbf {E} \cdot \mu _{0}\mathbf {J} +\mathbf {E} \cdot \epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}$

Віднявши перше рівняння з другого, отримаємо:

${\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Нарешті:

${\displaystyle -\nabla \cdot \ (\mathbf {E} \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Оскільки вектор Пойнтінга ${\displaystyle \mathbf {S} }$ визначається как:

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$

це рівнозначно:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0.}$

Механічна енергія у теоремі визначається як

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u_{m}(\mathbf {r} ,t)+\nabla \cdot \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),}$

де u_m — кінетична енергія густини у системі. Вона може бути описана як сума кінетичної енергії частинок α

${\displaystyle u_{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)),}$

${\displaystyle \mathbf {S_{m}} }$ — потік енергії, або «механічний вектор Пойнтінга»:

${\displaystyle \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}{\dot {\mathbf {r} }}_{\alpha }\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)).}$

Рівняння неперервності енергії, або закон збереження енергії

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(u_{e}+u_{m}\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {S} _{e}+\mathbf {S} _{m}\right)=0,}$

Можна отримати й інші форми теореми Пойнтінга. Замість того щоб використовувати вектор потоку ${\displaystyle \mathbf {S} \propto \mathbf {E} \times \mathbf {B} }$ можна вибрати форму Авраама ${\displaystyle \mathbf {E} \times \mathbf {H} }$, форму Мінковського ${\displaystyle \mathbf {D} \times \mathbf {B} }$, або якусь іншу.