Теорема Пуанкаре — Біркгофа — Вітта

Теорема Пуанкаре — Біркгофа — Вітта — твердження у математиці, що описує структуру універсальних обгортуючих алгебр і є одним із фундаментальних результатів теорії алгебр Лі і їх представлень.

Твердження

Нехай позначають відповідно тензорну алгебру, універсальну обгортуючу алгебру і симетричну алгебру для алгебри Лі над полем K. Для тензорної алгебри можна ввести фільтрацію

де

Для універсальної обгортуючої і симетричної алгебри теж при цьому отримуються фільтрації, якщо взяти відповідні факторизації зокрема і де — відповідні факторизації для універсальної обгортуючої і симетричної алгебр.

Тоді можна ввести нові простори:

і

Позначаючи відповідну факторизацію, отримуємо також відображення Оскільки його образ для всіх елементів виду є рівним нулю, це також є справедливим і для ідеалу породженого цими елементами. Відповідно відображення породжує відображення

Теорема Пуанкаре — Біркгофа — Вітта: відображення є ізоморфізмом алгебр і

За допомогою базисних елементів

Нехай — алгебра Лі над полем , — її цілком впорядкований базис як векторного простору, тобто індекси , де множина є цілком впорядкованою. Якщо — відображення у її обгортуючу алгебру, то елементи і утворюють базис векторного простору . Зокрема відображення є ін'єктивним.

Доведення

Нехай — упорядкований базис Тоді симетричну алгебру можна ототожнити з алгеброю многочленів від змінних Для кожної послідовності індексів можна ввести елементи і Послідовність називається зростаючою, якщо Порожня послідовність теж вважається зростаючою і Тоді множина для усіх зростаючих послідовностей є базисом в

позначає, що для всіх Позначимо — ідеал у породжений елементами (тобто ).

Лема 1

Для кожного існує єдине таке лінійне відображення що:

  • для
  • для
  • для всіх

При цьому обмеження відображення на узгоджується з

Доведення

Обмеження відображення на автоматично задовольняє умови і при виконанні єдиності має збігатися з

Існування і єдиність відображення доводиться індукцією по m. При m = 0 маємо ; тому можна встановити (і продовжити лінійно на Умови виконуються, і з зрозуміло, що вказане відображення є єдиним можливим.

Припустивши існування єдиного відображення що задовольняє необхідні умови продовжимо до Для цього досить визначити для зростаючих послідовностей довжини m. У випадку умова буде виконуватися, лише якщо задати Якщо вказана нерівність не виконується, то перший індекс у послідовності є строго меншим ніж тому де і Т має довжину m-1. З умови одержуємо Оскільки то так що ліва частина співвідношення набуває виду З іншого боку, з випливає, що Це означає, що права частина співвідношення вже визначена:

Попередні зауваження показують, що відображення можна визначити в єдиний спосіб. При цьому умови і очевидно виконуються, як і при Але тож умова виконується і при Воно виконується і при

Залишається розглянути випадок, коли умови і не виконуються. Запишемо де Для зручності позначень нехай xz позначає З припущення індукції випливає, що і при цьому з огляду на умови Оскільки то можна застосувати до За припущенням індукції можна також застосувати до а тоді і до В результаті:

В усіх цих міркуваннях і можна поміняти місцями. Якщо переставити їх у останнє рівняння і відняти отримане рівняння з вихідного, то ми отримаємо (за допомогою тотожності Якобі):

Цим доведено співвідношення а відтак і всю лему.

Лема 2

Існує представлення що задовольняє умови

  • для послідовності довжини m.

Доведення

Згідно попередньої леми існує лінійне відображення що задовольняє умовам при всіх m. Іншими словами, перетворюється в -модуль (згідно умови ), який зважаючи на умови задовольняє властивості леми.

Лема 3

Нехай Тоді однорідна компонента степеня в належить ідеалу J.

Доведення

Запишемо як лінійну комбінацію базисних елементів де кожна послідовність має довжину m. Гомоморфізм алгебр Лі побудований в попередній лемі зважаючи на універсальну властивість алгебри продовжується до гомоморфізму алгебр для якого Тому Але одиниця під дією гомоморфізму відображається в многочлен, старший член якого з огляду на попередню лему є лінійною комбінацією елементів Тому ця лінійна комбінація дорівнює 0 в і що і треба було довести.

Доведення теореми ПБВ

Відображення є сюр'єктивним і Звідси випливає, що і відображення і також є сюр'єктивними.

Доведемо тепер ін'єктивність. Нехай Потрібно довести, що з умови випливає, що Але якщо то для деякого ; отже, Застосуємо попередню лему до тензора однорідна компонента степені m є рівною і тому

Див. також

Література

  • Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с.
  • Carter, R. (2005). Lie Algebras of Finite and Affine Type. Cambridge University Press. ISBN 0-521-85138-6.
  • Winter, David J. (1972). Abstract Lie algebras. The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.-London. ISBN 978-0-486-46282-0. MR 0332905.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.