Теорема Пуанкаре — Біркгофа — Вітта

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — алгебра Лі над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle x_{\alpha }}$— її цілком впорядкований базис як векторного простору, тобто індекси ${\displaystyle \alpha \in I}$, де множина ${\displaystyle I}$ є цілком впорядкованою. Якщо ${\displaystyle i:{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$ — відображення ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ у її обгортуючу алгебру, то елементи ${\displaystyle 1}$ і ${\displaystyle i(x_{\alpha _{1}})\cdot \ldots \cdot i(x_{\alpha _{s}})(s\geqslant 1,\alpha _{1}\leqslant ...\leqslant \alpha _{s})}$ утворюють базис векторного простору ${\displaystyle U}$. Зокрема відображення ${\displaystyle i}$ є ін'єктивним.

Для кожного ${\displaystyle m\in Z^{+}}$ існує єдине таке лінійне відображення ${\displaystyle f_{m}:{\mathfrak {g}}\otimes S_{m}\to S({\mathfrak {g}}),}$ що:

• ${\displaystyle (A_{m})\quad f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{\Sigma })=z_{\alpha }z_{\Sigma }}$ для ${\displaystyle \alpha \leqslant \Sigma ,\;z_{\Sigma }\in S_{m};}$
• ${\displaystyle (B_{m})\quad f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{\Sigma })-z_{\alpha }z_{\Sigma }\in S_{k}}$ для ${\displaystyle k\leqslant m,\;z_{\Sigma }\in S_{k};}$
• ${\displaystyle (C_{m})\quad f_{m}(x_{\alpha }\otimes f_{m}(x_{\mu }\otimes z_{T}))=f_{m}(x_{\mu }\otimes f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{T}))+f_{m}([x_{\alpha },x_{\mu }]\otimes z_{T})}$ для всіх ${\displaystyle z_{T}\in S_{m-1}.}$

При цьому обмеження відображення ${\displaystyle f_{m}}$ на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes S_{m-1}}$ узгоджується з ${\displaystyle f_{m-1}.}$

Обмеження відображення ${\displaystyle f_{m}}$ на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes S_{m-1}}$ автоматично задовольняє умови ${\displaystyle (A_{m}),(B_{m}),(C_{m})}$ і при виконанні єдиності має збігатися з ${\displaystyle f_{m-1}.}$

Існування і єдиність відображення ${\displaystyle f_{m}}$ доводиться індукцією по m. При m = 0 маємо ${\displaystyle z_{\Sigma }=1}$; тому можна встановити ${\displaystyle f_{0}(x_{\alpha }\otimes 1)=z_{\alpha }}$ (і продовжити лінійно на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes S_{0}.}$ Умови ${\displaystyle (A_{0}),(B_{0}),(C_{0})}$ виконуються, і з ${\displaystyle (A_{0})}$ зрозуміло, що вказане відображення ${\displaystyle f_{0}}$ є єдиним можливим.

Припустивши існування єдиного відображення ${\displaystyle f_{m-1},}$ що задовольняє необхідні умови продовжимо ${\displaystyle f_{m-1}}$ до ${\displaystyle f_{m}.}$ Для цього досить визначити ${\displaystyle f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{\Sigma })}$ для зростаючих послідовностей ${\displaystyle \Sigma }$ довжини m. У випадку ${\displaystyle \alpha \leqslant \Sigma }$ умова ${\displaystyle (A_{m})}$ буде виконуватися, лише якщо задати ${\displaystyle f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{\Sigma })=z_{\alpha }z_{\Sigma }.}$ Якщо вказана нерівність не виконується, то перший індекс ${\displaystyle \mu }$ у послідовності ${\displaystyle \Sigma }$ є строго меншим ніж ${\displaystyle \alpha ,}$ тому ${\displaystyle \Sigma =(\mu ,T),}$ де ${\displaystyle \mu \leqslant T}$ і Т має довжину m-1. З умови ${\displaystyle (A_{m-1})}$ одержуємо ${\displaystyle z_{\Sigma }=z_{\mu }z_{T}=f_{m-1}(x_{\mu }\otimes z_{T}).}$ Оскільки ${\displaystyle \mu \leqslant T,}$ то ${\displaystyle f_{m}(x_{\mu }\otimes z_{T})=z_{\mu }z_{T},}$ так що ліва частина співвідношення ${\displaystyle (C_{m})}$ набуває виду ${\displaystyle f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{\Sigma }).}$ З іншого боку, з ${\displaystyle (B_{m-1})}$ випливає, що ${\displaystyle f_{m}(x_{\alpha }\otimes z_{T})=f_{m-1}(x_{\alpha }\otimes z_{T})\equiv z_{\alpha }z_{T}\mod S_{m-1}.}$ Це означає, що права частина співвідношення ${\displaystyle (C_{m})}$ вже визначена:

${\displaystyle z_{\mu }z_{\alpha }z_{T}+f_{m-1}(x_{\mu }\otimes y)+f_{m-1}([x_{\alpha },x_{\mu }]\otimes z_{T}),\;\;y\in S_{m-1}.}$

Попередні зауваження показують, що відображення ${\displaystyle f_{m}}$ можна визначити в єдиний спосіб. При цьому умови ${\displaystyle (A_{m})}$ і ${\displaystyle (B_{m})}$ очевидно виконуються, як і ${\displaystyle (C_{m})}$ при ${\displaystyle \mu <\alpha ,\;\mu \leqslant T.}$ Але ${\displaystyle [x_{\mu },x_{\alpha }]=-[x_{\alpha },x_{\mu }],}$ тож умова ${\displaystyle (C_{m})}$ виконується і при ${\displaystyle \alpha <\mu ,\;\alpha \leqslant T.}$ Воно виконується і при ${\displaystyle \alpha =\mu .}$

Залишається розглянути випадок, коли умови ${\displaystyle \alpha \leqslant T}$ і ${\displaystyle \mu \leqslant T}$ не виконуються. Запишемо ${\displaystyle T=(\nu ,\Psi ),}$ де ${\displaystyle \nu \leqslant \Psi ,\;\nu <\alpha ,\nu <\mu .}$ Для зручності позначень нехай xz позначає ${\displaystyle f_{m}(x\otimes z).}$ З припущення індукції випливає, що ${\displaystyle x_{\mu }z_{T}=x_{\mu }(x_{\nu }z_{\Psi })=x_{\nu }(x_{\mu }z_{\Psi })+[x_{\mu },x_{\nu }]z_{\Psi },}$ і при цьому ${\displaystyle x_{\mu }z_{\Psi }=z_{\mu }z_{\Psi }+w\;(w\in S_{m-2})}$ з огляду на умови ${\displaystyle (B_{m-2}).}$ Оскільки ${\displaystyle \nu \leqslant \Psi ,\;\nu <\mu ,}$ то ${\displaystyle (C_{m})}$ можна застосувати до ${\displaystyle x_{\alpha }(x_{\nu }(z_{\mu }z_{\Psi })).}$ За припущенням індукції можна також застосувати ${\displaystyle (C_{m})}$ до ${\displaystyle x_{\alpha }(x_{\nu }w),}$ а тоді і до ${\displaystyle x_{\alpha }(x_{n}u(x_{\mu }z_{\Psi })).}$ В результаті:

${\displaystyle x_{\alpha }(x_{m}uT)=x_{\nu }(x_{\alpha }(x_{\mu }z_{\Psi }))+[x_{\alpha },x_{\nu }](x_{\mu }z_{\Psi })+[x_{\mu },x_{\nu }](x_{\alpha }z_{\Psi })+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]z_{\Psi }.}$

В усіх цих міркуваннях ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \mu }$ можна поміняти місцями. Якщо переставити їх у останнє рівняння і відняти отримане рівняння з вихідного, то ми отримаємо (за допомогою тотожності Якобі):

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\alpha }(x_{m}z_{T})-x_{\mu }(x_{\alpha }z_{T})=&x_{\nu }(x_{\alpha }(x_{\mu }z_{\Psi }))-x_{\nu }(x_{\mu }(x_{\alpha }z_{\Psi }))+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]z_{\Psi }-[x_{\mu },[x_{\alpha },x_{\nu }]]z_{\Psi }=\\&x_{\nu }([x_{\alpha },x_{\mu }]z_{\Psi })+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]z_{\Psi }+[x_{\mu },[x_{\mu },x_{\alpha }]]z_{\Psi }=\\&[x_{\alpha },x_{\mu }](x_{\nu }z_{\Psi })+([x_{\mu },[x_{\alpha },x_{\nu }]]+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]+[x_{\mu },[x_{\mu },x_{\alpha }]])z_{\Psi }=\\&[x_{\alpha },x_{\mu }](z_{T})\end{aligned}}}$

Цим доведено співвідношення ${\displaystyle (C_{m}),}$ а відтак і всю лему.

Існує представлення ${\displaystyle \rho$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(S({\mathfrak {g}})),} що задовольняє умови

• ${\displaystyle \rho (x_{\alpha })z_{\Sigma }=z_{\alpha }z_{\Sigma },\;\alpha \leqslant \Sigma$ ;}
• ${\displaystyle \rho (x_{\alpha })z_{\Sigma }\equiv z_{\alpha }z_{\Sigma }\mod S_{m},}$ для послідовності ${\displaystyle \Sigma }$ довжини m.

Згідно попередньої леми існує лінійне відображення ${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\otimes S({\mathfrak {g}})\to S({\mathfrak {g}}),}$ що задовольняє умовам ${\displaystyle (A_{m}),(B_{m}),(C_{m})}$ при всіх m. Іншими словами, ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ перетворюється в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль (згідно умови ${\displaystyle (C_{m})}$), який зважаючи на умови ${\displaystyle (A_{m}),(B_{m})}$ задовольняє властивості леми.

Нехай ${\displaystyle t\in T_{m}\cap \operatorname {Ker} \pi .}$ Тоді однорідна компонента ${\displaystyle t_{m}}$ степеня ${\displaystyle m}$ в ${\displaystyle t}$ належить ідеалу J.

Запишемо ${\displaystyle t_{m}}$ як лінійну комбінацію базисних елементів ${\displaystyle x_{\Sigma (i)},\;(1\leqslant i\leqslant r)}$ де кожна послідовність ${\displaystyle \Sigma (i)}$ має довжину m. Гомоморфізм алгебр Лі ${\displaystyle \rho$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(S({\mathfrak {g}})),} побудований в попередній лемі зважаючи на універсальну властивість алгебри ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ продовжується до гомоморфізму алгебр ${\displaystyle \rho :T({\mathfrak {g}})\to \operatorname {End} (S({\mathfrak {g}})),}$ для якого ${\displaystyle \operatorname {Ker} \pi \subset \operatorname {Ker} \rho .}$ Тому ${\displaystyle \rho (t)=0.}$ Але одиниця під дією гомоморфізму ${\displaystyle \rho (t)}$ відображається в многочлен, старший член якого з огляду на попередню лему є лінійною комбінацією елементів ${\displaystyle x_{\Sigma (i)},\;(1\leqslant i\leqslant r).}$ Тому ця лінійна комбінація дорівнює 0 в ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ і ${\displaystyle t_{m}\in J,}$ що і треба було довести.

Відображення ${\displaystyle \pi }$ є сюр'єктивним і ${\displaystyle \pi (T_{m}\setminus T_{m-1})=U_{m}\setminus U_{m-1}.}$Звідси випливає, що і відображення ${\displaystyle \psi \circ \pi :T({\mathfrak {g}})\to G({\mathfrak {g}})}$і також ${\displaystyle \phi :S({\mathfrak {g}})\to G({\mathfrak {g}})}$є сюр'єктивними.

Доведемо тепер ін'єктивність. Нехай ${\displaystyle t\in T^{m}.}$ Потрібно довести, що з умови ${\displaystyle \pi (t)\in U_{m-1}}$ випливає, що ${\displaystyle t\in \operatorname {Ker} \pi .}$ Але якщо ${\displaystyle t\in T^{m},\pi (t)\in U_{m-1},}$ то ${\displaystyle \pi (t)=\pi (t')}$ для деякого ${\displaystyle t'\in T_{m-1}}$; отже, ${\displaystyle t-t'\in \operatorname {Ker} \pi .}$ Застосуємо попередню лему до тензора ${\displaystyle t-t'\in T_{m}\cap \operatorname {Ker} \pi$ :} однорідна компонента степені m є рівною ${\displaystyle t}$ і тому ${\displaystyle t\in J.}$