Теорема Рауха про порівняння

Нехай ${\displaystyle M}$ і ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ є рімановими многовидами із рімановими метриками ${\displaystyle g(\cdot ,\cdot )}$ і ${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$, ${\displaystyle \gamma \colon [0,T]\to M}$ і ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\colon [0,T]\to {\tilde {M}}}$ є геодезичними із одиничною швидкістю і ${\displaystyle J,{\tilde {J}}}$ — нормальні ненульові поля Якобі вздовж ${\displaystyle \gamma }$ і ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$. Нехай також додатково виконуються умови:

1. ${\displaystyle \gamma (0)}$ і ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}(0)}$ не мають спряжених точок вздовж ${\displaystyle \gamma }$ і ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ на інтервалі ${\displaystyle [0,T]}$.
2. ${\displaystyle J(0)={\tilde {J}}(0)=0}$.
3. Вектори ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}J(0)}$ і ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\tilde {\gamma }}}(t)}{\tilde {J}}(0)}$ мають однакову довжину у відповідних ріманових метриках (оскільки поля Якобі є ненульовими, то ця довжина є більшою 0).
4. Секційні кривини многовидів ${\displaystyle M}$ і ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ у відповідних точках геодезичних ліній всюди задовольняють нерівність ${\displaystyle K(\Pi )\geqslant {\widetilde {K}}({\widetilde {\Pi }})}$, де ${\displaystyle \Pi \subset T_{\gamma (t)}M}$ — довільна 2-площина відповідного дотичного простору, що містить ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$, а ${\displaystyle {\tilde {\Pi }}\subset T_{{\tilde {\gamma }}(t)}{\tilde {M}}}$ — довільна 2-площина відповідного дотичного простору, що містить ${\displaystyle {\dot {\tilde {\gamma }}}(t)}$.

Тоді ${\displaystyle g(J(t),J(t))\leqslant h({\tilde {J}}(t),{\tilde {J}}(t))}$ для всіх ${\displaystyle t\in [0,T]}$.

Нехай для простоти позначень ${\displaystyle u(t)=g(J(t),J(t)),\ v(t)=h({\tilde {J}}(t),{\tilde {J}}(t))}$ для ${\displaystyle t\in [0,T]}$. Похідні цих функцій є рівні:

${\displaystyle u'(t)=2g(J(t),\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}J(t)),\ v'(t)=2h({\tilde {J}}(t),\nabla _{{\dot {\tilde {\gamma }}}(t)}{\tilde {J}}(t)).}$

Із відсутності спряжених точок випливає, що ${\displaystyle u(t)\neq 0,\ v(t)\neq 0}$ для всіх ${\displaystyle t\in (0,T].}$ Тому можна ввести функції ${\displaystyle \mu (t)={\frac {I_{0}^{t}(J)}{u(t)}}}$ і ${\displaystyle \nu (t)={\frac {I_{0}^{t}({\tilde {J}})}{v(t)}},}$ де, як у статті поле Якобі для деякого векторного поля ${\displaystyle Y}$ над геодезичною лінією ${\displaystyle \gamma }$ позначається:

${\displaystyle I_{a}^{b}(Y)=\int _{a}^{b}\left[g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(R(Y,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),Y)\right]dt.}$

Із виразів для похідних ${\displaystyle u'(t),\ v'(t)}$ і властивостей полів Якобі описаних у відповідній статті випливають рівності ${\displaystyle u'(t)=2\mu (t)u(t),\ v'(t)=2\nu (t)v(t).}$ Розв'язки цих диференціальних рівнянь для всіх ${\displaystyle t\in [\varepsilon ,T]}$ можна записати як:

${\displaystyle u(t)=u(\varepsilon )e^{2\int _{\varepsilon }^{t}\mu dt},\quad v(t)=v(\varepsilon )e^{2\int _{\varepsilon }^{t}\nu dt}.}$

Також ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}u(\varepsilon )=\lim _{\varepsilon \to 0}v(\varepsilon )=0}$ і з запису для похідних також ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}u'(\varepsilon )=\lim _{\varepsilon \to 0}v'(\varepsilon )=0.}$ Натомість ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}u''(\varepsilon )=\lim _{\varepsilon \to 0}g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(\varepsilon )}J,\nabla _{{\dot {\gamma }}(\varepsilon )}J)+g(J(\varepsilon ),\nabla _{{\dot {\gamma }}(\varepsilon )}^{2}J)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}J,\nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}J)}$

Аналогічно

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}v''(\varepsilon )=h(\nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}{\tilde {J}},\nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}{\tilde {J}}).}$

Згідно другої властивості у твердженні теореми ці два вирази є рівними між собою і не рівними нулю, тому ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {u''(\varepsilon )}{v''(\varepsilon )}}=1}$ і тому згідно правила Лопіталя також ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {u(\varepsilon )}{v(\varepsilon )}}=1.}$

Як наслідок ${\displaystyle {\frac {u(t)}{v(t)}}=\lim _{\varepsilon \to 0}e^{2\int _{\varepsilon }^{t}\mu -\nu dt}.}$ Звідси для доведення теореми достатньо довести, що ${\displaystyle \mu (t)\leqslant \nu (t)}$ для всіх ${\displaystyle t\in (0,T].}$

Нехай ${\displaystyle c\in (0,T]}$ — деяка точка і ${\displaystyle J^{1}={J \over {\sqrt {u(c)}}},\ {\tilde {J}}^{1}={{\tilde {J}} \over {\sqrt {v(c)}}}.}$ Векторні поля ${\displaystyle J^{1}}$ і ${\displaystyle {\tilde {J}}^{1}}$ є полями Якобі над відповідними геодезиками і вони мають одиничну довжину у точках ${\displaystyle \gamma (c)}$ і ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(c)}$.

Нехай ${\displaystyle U_{t}}$ і ${\displaystyle V_{t}}$ позначають підпростори дотичних просторів у точках ${\displaystyle \gamma (t)}$ і ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(t)}$, що є ортогональними до ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ і ${\displaystyle {\dot {\tilde {\gamma }}}(t).}$ Нехай ${\displaystyle f_{c}}$ є лінійним ізоморфізмом із ${\displaystyle V_{c}}$ у ${\displaystyle U_{c}}$ для якого ${\displaystyle g(f_{c}(X),f_{c}(Y))=h(X,Y),\ \forall X,Y\in V_{c}}$ і ${\displaystyle J^{1}(\gamma (c))=f_{c}({\tilde {J}}^{1}({\tilde {\gamma }}(c))).}$ Також позначимо ${\displaystyle F_{t}^{c}}$ (і ${\displaystyle {\tilde {F}}_{t}^{c}}$) оператор паралельного перенесення вздовж геодезичної лінії ${\displaystyle \gamma }$ із точки ${\displaystyle \gamma (c)}$ у точку ${\displaystyle \gamma (t)}$ (відповідно вздовж геодезичної лінії ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ із точки ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(c)}$ у точку ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(t)}$). Тоді також можна визначити оператори ${\displaystyle f_{t}}$ із ${\displaystyle U_{t}}$ у ${\displaystyle V_{t}}$ із рівнянь ${\displaystyle f_{t}\circ {\tilde {F}}_{t}^{c}=F_{t}^{c}\circ f_{c}.}$

Нехай ${\displaystyle Z(\gamma (t))=f_{t}({\tilde {J}}^{1}({\tilde {\gamma }}(t))).}$ Оскільки ${\displaystyle f_{t}}$ переводить ортонормальну сисмему паралельних векторних полів, то координати ${\displaystyle Z}$ і ${\displaystyle {\tilde {J}}^{1}}$ у відповідних системах є рівними, як і координати ${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}Z}$ і ${\displaystyle \nabla _{\dot {\tilde {\gamma }}}{\tilde {J}}^{1}.}$ Звідси випливає, що ${\displaystyle g(Z,Z)_{\gamma (t)}=h({\tilde {J}}^{1},{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}}$ і також ${\displaystyle g(\nabla _{\dot {\gamma }}Z,\nabla _{\dot {\gamma }}Z)_{\gamma (t)}=h(\nabla _{\dot {\tilde {\gamma }}}{\tilde {J}}^{1},\nabla _{\dot {\tilde {\gamma }}}{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}}$ для всіх ${\displaystyle t\in [0,T].}$

Для введених векторних полів справедливими є нерівності:

${\displaystyle I_{0}^{c}(J^{1})\leqslant I_{0}^{c}(Z)\leqslant I_{0}^{c}({\tilde {J}}^{1}).}$

Перша нерівність випливає із мінімізуючої властивості полів Якобі для ${\displaystyle I_{0}^{c}}$ у статті поле Якобі (оскільки за побудовою ${\displaystyle Z_{\gamma (0)}=J_{\gamma (0)}^{1}=0,\ Z_{\gamma (c)}=J_{\gamma (c)}^{1}}$), а друга — із властивості 4 у твердженні теореми і означення і властивостей ${\displaystyle Z.}$ А саме оскільки ${\displaystyle g(Z,Z)_{\gamma (t)}=h({\tilde {J}}^{1},{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}}$ і ${\displaystyle g(Z,{\dot {\gamma }}(t))=h({\tilde {J}}^{1},{\dot {\tilde {\gamma }}}(t))=0}$, а також ${\displaystyle g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=h({\dot {\tilde {\gamma }}}(t),{\dot {\tilde {\gamma }}}(t))=1}$ то з ${\displaystyle K(Z,{\dot {\gamma }}(t))\geqslant {\widetilde {K}}({\tilde {J}}^{1},{\dot {\tilde {\gamma }}}(t))}$ випливає, що

${\displaystyle g(R(Z,{\dot {\gamma }}){\dot {\gamma }},Z)_{\gamma (t)}=K(Z,{\dot {\gamma }})_{\gamma (t)}\cdot g(Z,Z)_{\gamma (t)}\geqslant h({\tilde {R}}({\tilde {J}}^{1},{\dot {\tilde {\gamma }}}){\dot {\tilde {\gamma }}},{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}={\widetilde {K}}({\tilde {J}}^{1},{\dot {\tilde {\gamma }}}(t))\cdot h({\tilde {J}}^{1},{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}.}$

Остаточно нерівність випливає із врахуванням того, що ${\displaystyle g(\nabla _{\dot {\gamma }}Z,\nabla _{\dot {\gamma }}Z)_{\gamma (t)}=h(\nabla _{\dot {\tilde {\gamma }}}{\tilde {J}}^{1},\nabla _{\dot {\tilde {\gamma }}}{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}}$ і означення ${\displaystyle I_{0}^{c}(Z)}$ і ${\displaystyle I_{0}^{c}({\tilde {J}}^{1}).}$

Але ${\displaystyle \mu (c)={\frac {I_{0}^{c}(J)}{u(c)}}=I_{0}^{c}(J^{1})}$ і аналогічно ${\displaystyle \nu (c)={\frac {I_{0}^{c}({\tilde {J}})}{v(c)}}=I_{0}^{c}({\tilde {J}}^{1})}$ і з попередньої нерівності ${\displaystyle \mu (c)\leqslant \nu (c).}$ Оскільки точка була вибрана довільно, то ${\displaystyle \mu (t)\leqslant \nu (t)}$ для всіх ${\displaystyle t\in (0,T].}$

Нехай ${\displaystyle M}$ — ріманів многовид, і геодезична лінія ${\displaystyle \gamma \colon [0,T]\to M}$ не містить спряжених точок, тоді:

• Якщо секційна кривина многовида ${\displaystyle M}$ є невід'ємною, то для будь-якого поля Якобі ${\displaystyle J}$ такого, що ${\displaystyle J(0)=0}$:

  ${\displaystyle |J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |t|.}$

• Якщо секційна кривина ${\displaystyle M}$ є не меншою 1, то

  ${\displaystyle |J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\sin t|.}$

• Якщо секційна кривина ${\displaystyle M}$ не більшою -1, то

  ${\displaystyle |J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\operatorname {sh} t|.}$

• Поле Якобі
• Спряжені точки

• Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
• Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург : Наука. — ISBN 5-02-024606-9.
• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9. (англ.)