Поле Якобі

На сфері геодезичними лініями через Північний полюс є великі кола. Розглянемо дві такі геодезичні ${\displaystyle \gamma _{0}}$ і ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$ з природною параметризацією ${\displaystyle t\in [0,\pi ]}$, розділені кутом ${\displaystyle \tau }$. Геодезичне відстань ${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))}$ рівна

${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\operatorname {arcsin} {\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+\cos ^{2}t\operatorname {tg} ^{2}(\tau /2)}}{\bigg )}.}$

Щоб отримати цей вираз, потрібно знати геодезичні. Найцікавіший результат такий:

${\displaystyle d(\gamma _{0}(\pi ),\gamma _{\tau }(\pi ))=0}$ для будь-якого ${\displaystyle \tau }$.

Замість цього ми можемо розглянути похідні по ${\displaystyle \tau }$ при ${\displaystyle \tau =0}$:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=|J(t)|=\sin t.}$

Ми знову отримуємо перетин геодезичних при ${\displaystyle t=\pi }$. Зауважимо, однак, що для обчислення цієї похідної не потрібно знати ${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))}$; все, що потрібно зробити, це розв'язати рівняння

${\displaystyle y''+y=0}$,

для деяких заданих початкових умов.

Поля Якобі дають природне узагальнення цього явища для довільних ріманових многовидів.

Розглянемо для простоти випадок ріманового многовиду. Нехай ${\displaystyle e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/|{\dot {\gamma }}(0)|}$; додамо до цього вектора інші, щоб вийшов ортонормований базис ${\displaystyle {\big \{}e_{i}(0){\big \}}}$ в ${\displaystyle T_{\gamma (0)}M}$. Перемістимо його паралельним перенесенням, щоб отримати базис ${\displaystyle \{e_{i}(t)\}}$ в будь-якій точці ${\displaystyle \gamma }$. Внаслідок цього отримуємо ортонормальний базис з ${\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}(t)|}$. Поле Якобі можна записати в координатах, пов'язаних з цим базисом: ${\displaystyle X(t)=\sum _{k=1}^{n}y_{k}(t)e_{k}(t)}$, звідки:

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=\sum _{k=1}^{n}{\frac {dy_{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}X=\sum _{k=1}^{n}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t),}$

і рівняння Якобі можна переписати у вигляді системи

${\displaystyle {\frac {d^{2}y_{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y_{j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0}$

для кожного ${\displaystyle k}$. Таким чином ми отримаємо систему лінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. Така ж система отримується і у випадку звичайних многовидів де тензор кручення не є рівним нулю.

Всюди тут розглядється ріманів многовид із зв'язністю Леві-Чивіти.

• Векторні поля ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ і ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$ визначені уздовж ${\displaystyle \gamma }$ є полями Якобі. Справді із кососиметричності тензора кривини випливає, що ${\displaystyle R({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=0}$ і також ${\displaystyle R(t{\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=tR({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=0.}$ За означенням геодезичних ліній ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0}$ і тому також ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}{\dot {\gamma }}(t)=0,}$ і тому ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ задовольняє рівнянню Якобі. Для поля ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$ натомість ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {t}}\gamma (t)={\dot {\gamma }}(t)+t\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)={\dot {\gamma }}(t)}$ і тому також ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}{\dot {\gamma }}(t)=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0,}$, тож це поле теж задовольняє рівнянню Якобі. Лінійні комбінації (над полем дійсних чисел) полів ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ і ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$ теж є полями Якобі. Поля такого типу називаються тангенціальними полями Якобі.
• Векторне поле ${\displaystyle f{\dot {\gamma }}(t),}$ де ${\displaystyle f=f(t)}$ — гладка функція, є полем Якобі тоді і тільки тоді, коли функція ${\displaystyle f}$ — лінійна. Відповідно у цьому випадку векторне поле є лінійною комбінацією над полем дійсних чисел векторних полів ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ і ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t),}$ тобто тангенціальним полем Якобі. Оскільки ${\displaystyle R(f{\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=fR({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=0,}$ то ${\displaystyle f{\dot {\gamma }}(t)}$ є полем Якобі тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}f{\dot {\gamma }}(t)=0.}$ Але ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}f{\dot {\gamma }}(t)=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}(f'(t){\dot {\gamma }}(t))=f''(t){\dot {\gamma }}(t).}$ Цей вираз є рівним нулю для всіх t тоді і лише тоді коли ${\displaystyle f''(t)=0}$ тобто ${\displaystyle f(t)}$ є лінійною функцією.
• Будь-яке поле Якобі ${\displaystyle X}$ можна в єдиний спосіб записати у вигляді суми ${\displaystyle a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)+I}$, де ${\displaystyle a,b}$ — дійсні числа, а вектор ${\displaystyle I(t)}$ є ортогональним до ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ для всіх ${\displaystyle t}$. Із властивостей ріманової метрики і означення поля Якобі ${\displaystyle {d^{2} \over dt^{2}}g(X,{\dot {\gamma }}(t))=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}X,{\dot {\gamma }}(t))=g(-R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)).}$ Згідно властивостей тензора кривини у рімановій геометрії для будь яких векторів ${\displaystyle A,B,X,Y}$ виконується рівність ${\displaystyle g(R(X,Y)A,B)=-g(R(X,Y)B,A)}$ і звідси ${\displaystyle g(-R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=0.}$ Тому також ${\displaystyle {d^{2} \over dt^{2}}g(X,{\dot {\gamma }}(t))=0}$ і тому ${\displaystyle g(X,{\dot {\gamma }}(t))={\bar {a}}+{\bar {b}}t,}$ для деяких дійсних чисел ${\displaystyle {\bar {a}},{\bar {b}}.}$ Тому якщо визначити ${\displaystyle a={\bar {a}}/|{\dot {\gamma }}|,\ b={\bar {b}}/|{\dot {\gamma }}|,}$ то векторне поле ${\displaystyle I=X-a{\dot {\gamma }}(t)-bt{\dot {\gamma }}(t)}$ буде ортогональним до ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ в усіх точках геодезичної лінії. Окрім того ${\displaystyle a,b}$ і поле Якобі ${\displaystyle I}$ визначені однозначно. Поля Якобі, що є ортогональними до ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ називаються нормальними полями Якобі.
• Якщо поле Якобі X уздовж геодезичної лінії ${\displaystyle \gamma (t)}$ є ортогональним до ${\displaystyle \gamma (t)}$ в двох точках то воно є ортогональним в усіх точках геодезичної лінії. Це випливає з того, що згідно доведення попередньої властивості ${\displaystyle g(X(t),{\dot {\gamma }}(t))}$ є лінійною функцією від t і тому, якщо вона є рівною 0 у двох різних точках, то вона є рівною 0 всюди.
• Поле Якобі ${\displaystyle X}$ є нормальним тоді і тільки тоді, коли для довільної точки на геодезичній лінії, що відповідає деякому параметру t) виконуються рівності ${\displaystyle g(X(t),{\dot {\gamma }}(t))=0}$ і ${\displaystyle g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X(t),{\dot {\gamma }}(t))=0.}$ Справді довільне поле Якобі однозначно записується як ${\displaystyle X=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)+I(t),}$ де векторне поле ${\displaystyle I(t)}$ є ортогональним до ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t).}$ Тому ${\displaystyle X}$ є нормальним тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle a=0}$ і ${\displaystyle b=0.}$ Але записуючи ${\displaystyle X}$ у такій формі маємо:

${\displaystyle g(a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)+I(t),{\dot {\gamma }}(t))=(a+bt)|{\dot {\gamma }}(t)|}$

і

${\displaystyle g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}(a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)+I(t)),{\dot {\gamma }}(t))=b|{\dot {\gamma }}(t)|,}$

тому ${\displaystyle a=0}$ і ${\displaystyle b=0}$ тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle g(X(t),{\dot {\gamma }}(t))=0}$ і ${\displaystyle g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X(t),{\dot {\gamma }}(t))=0.}$

У другій рівності для доведення використано те, що ${\displaystyle g(I(t),{\dot {\gamma }}(t))}$ і тому ${\displaystyle 0={d \over dt}g(I(t),{\dot {\gamma }}(t))=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}I(t),{\dot {\gamma }}(t))+g(I(t),\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t))=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}I(t),{\dot {\gamma }}(t))}$ згідно означень геодезичної лінії і зв'язності Леві-Чивіти. Тому ${\displaystyle g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}I(t),{\dot {\gamma }}(t))=0.}$

• Підсумовуючи тангенціальні поля Якобі утворюють двовимірний дійсний підпростір простору полів Якобі, а нормальні поля Якобі утворюють підпростір розмірності 2n - 2. Простір полів Якобі є прямою сумою підпросторів тангенціальних і нормальних полів Якобі.

• Нехай ${\displaystyle p,q\in M}$ — точки, що належать одній геодезичній лінії ${\displaystyle \gamma (t)}$ і не є спряженими щодо цієї геодезичної. Тоді для довільних ${\displaystyle Y\in T_{p}M,\;Z\in T_{q}N}$ існує єдине поле Якобі визначене на ${\displaystyle \gamma (t),}$ що приймає значення Y в точці p і Z в точці q.
• Якщо X, Y — поля Якобі вздовж геодезичної лінії ${\displaystyle \gamma (t),}$ тоді:

${\displaystyle g(X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,Y)=const,}$ де g — ріманова метрика. Зокрема, якщо обидва векторні поля є нульовими в деякій точці геодезичної лінії, то ${\displaystyle g(X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,Y)=0.}$ Ці властивості випливають з того, що:

${\displaystyle {d \over dt}g(X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)+g(X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}Y)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(X,R(Y,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t))}$

і

${\displaystyle {d \over dt}g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,Y)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)+g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}X,Y)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),Y).}$

Оскільки ${\displaystyle g(X,R(Y,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t))=g(Y,R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t))}$ то ${\displaystyle {d \over dt}(g(X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,Y))=0,}$ що доводить твердження.

• Якщо X є полем Якобі вздовж геодезичної лінії ${\displaystyle \gamma (t),}$ а , Y — кусково диференційовне векторне поле на цій же лінії, то для будь-яких чисел ${\displaystyle a<b}$, таких, що геодезична лінія є заданою на проміжку ${\displaystyle [a,b]}$ виконується рівність:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),Y)\right]dt=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,Y)_{t=b}-g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,Y)_{t=a}}$

Дана рівність випливає із інтегрування на ${\displaystyle [a,b]}$ обох сторін рівності (яка справедлива для всіх точок крім скінченної кількості точок де ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y}$ має розриви першого роду і тому при інтегруванні ними можна знехтувати):

${\displaystyle {d \over dt}g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,Y)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)+g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}X,Y)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),Y).}$

• Нехай для геодезичної лінії ${\displaystyle \gamma (t),}$ для якої інтервал ${\displaystyle [a,b]}$ належить області визначення, і векторного поля Y , що є кусково диференційовним вздовж геодезичної на цьому проміжку позначено ${\displaystyle I_{a}^{b}(Y)=\int _{a}^{b}\left[g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(R(Y,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),Y)\right]dt.}$ Нехай додатково ${\displaystyle \gamma (a)}$ не має спряжених точок на геодезичній на інтервалі ${\displaystyle [a,b]}$, векторне поле X є нормальним полем Якобі вздовж геодезичної для якого ${\displaystyle X_{\gamma (a)}=0}$, а Y є кусково диференційовним векторним полем вздовж геодезичної на інтервалі ${\displaystyle [a,b]}$, у кожній точці цього інтервалу ${\displaystyle Y_{\gamma (t)}}$ є ортогональним до ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ і ${\displaystyle Y_{\gamma (a)}=X_{\gamma (a)}=0,\ Y_{\gamma (b)}=X_{\gamma (b)}.}$ Тоді ${\displaystyle I_{a}^{b}(X)\leqslant I_{a}^{b}(Y)}$ і рівність виконується лише у випадку ${\displaystyle X=Y.}$

• Нехай ${\displaystyle p\in M}$ і ${\displaystyle A,B\in T_{p}M.}$ Визначимо підмножину ${\displaystyle Q\subset \mathbb {R} ^{2}}$ таким чином: ${\displaystyle (t,\tau )\in Q,}$ тоді і тільки тоді коли експоненційне відображення ${\displaystyle \exp _{p}t(B+\tau A)}$ є визначеним. Тоді відображення ${\displaystyle F:Q\to M}$ визначене як ${\displaystyle F(t,\tau )=\exp _{p}t(B+\tau A)}$ є однопараметричною сім'єю геодезичних ліній, а диференціал ${\displaystyle \operatorname {d} \exp _{p}(tA)}$ задає поле Якобі вздовж кожної геодезичної лінії.

Розглянемо геодезичну лінію ${\displaystyle \gamma (t)}$ з паралельним ортонормованим репером ${\displaystyle e_{i}(t)}$, ${\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}|}$, побудованим, як описано вище.

• В евклідовому просторі (а також для просторів постійної нульової секційної кривини) поля Якобі є лінійними по ${\displaystyle t}$.
• Для ріманових многовидів постійної від'ємної секційної кривини ${\displaystyle -k^{2}}$ будь-яке поле Якобі є лінійною комбінацією ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$, ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$ і ${\displaystyle \exp(\pm kt)e_{i}(t)}$, де ${\displaystyle i>1}$.
• Для ріманових многовидів постійної додатної секційної кривини ${\displaystyle k^{2}}$ будь-яке поле Якобі є лінійною комбінацією ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$, ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$, ${\displaystyle \sin(kt)e_{i}(t)}$ і ${\displaystyle \cos(kt)e_{i}(t)}$, де ${\displaystyle i>1}$ .
• Звуження поля Кіллінга на геодезичну лінію є полем Якобі в будь-якому рімановому многовиді.
• Поля Якобі відповідають геодезичним лініям на дотичному розшаруванні (по відношенню до метрики в ${\displaystyle TM}$, індукованої метрикою на ${\displaystyle M}$).

• Спряжені точки
• Теорема Рауха про порівняння
• Рівняння Ріккаті

• Hicks, Noel (1965). Notes on Differential Geometry. Van Nostrand, Princeton, N. J. ISBN 0442034105. (англ.)
• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9. (англ.)