Поле Якобі

Поле Якобівекторне поле вздовж геодезичної лінії в деякому многовиді, що в певному сенсі описує різницю між цією геодезичною лінією і «нескінченно близькими» їй геодезичними лініями. Іншими словами, поля Якобі вздовж геодезичної лінії утворюють дотичний простір до геодезичної в просторі всіх геодезичних. Особливо часто розглядаються для ріманових многовидів.

Векторне поле вздовж геодезичної лінії є полем Якобі тоді й лише тоді коли воно задовольняє деякому рівнянню, яке називається рівнянням Якобі.

Названі на честь німецького математика Карла Якобі.

Визначення

Рівняння Якобі

Нехай Mгладкий многовид розмірності n, афінна зв'язність на ньому, T і Rтензори кручення і кривини відповідно. Розглянемо деяку геодезичну лінію і позначимо її дотичне векторне поле. Векторне поле X визначене вздовж геодезичної лінії називається полем Якобі, якщо воно задовольняє наступному рівнянню (рівнянню Якобі):

У рівності вище використано позначення

В особливо важливому частковому випадку ріманового многовиду із зв'язністю Леві-Чивіти, тензор кручення є рівним нулю і рівняння Якобі спрощується:

Однопараметрична сім'я геодезичних ліній

Розглянемо тепер відображення класу з множини в многовид M, з такими властивостями:

  • Для довільного крива є геодезичною лінією;

таке відображення визначає однопараметричну сім'ю геодезичних ліній. Для фіксованого t визначає криву для Для цієї кривої визначений дотичний вектор в точці Повторюючи цю процедуру для різних значень t отримуємо векторне поле, яке і називається полем Якобі:

Можна довести, що обидва визначення поля Якобі є насправді еквівалентними.

Приклад

На сфері геодезичними лініями через Північний полюс є великі кола. Розглянемо дві такі геодезичні і з природною параметризацією , розділені кутом . Геодезичне відстань рівна

Щоб отримати цей вираз, потрібно знати геодезичні. Найцікавіший результат такий:

для будь-якого .

Замість цього ми можемо розглянути похідні по при :

Ми знову отримуємо перетин геодезичних при . Зауважимо, однак, що для обчислення цієї похідної не потрібно знати ; все, що потрібно зробити, це розв'язати рівняння

,

для деяких заданих початкових умов.

Поля Якобі дають природне узагальнення цього явища для довільних ріманових многовидів.

Явний вигляд рівняння Якобі

Розглянемо для простоти випадок ріманового многовиду. Нехай ; додамо до цього вектора інші, щоб вийшов ортонормований базис в . Перемістимо його паралельним перенесенням, щоб отримати базис в будь-якій точці . Внаслідок цього отримуємо ортонормальний базис з . Поле Якобі можна записати в координатах, пов'язаних з цим базисом: , звідки:

і рівняння Якобі можна переписати у вигляді системи

для кожного . Таким чином ми отримаємо систему лінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. Така ж система отримується і у випадку звичайних многовидів де тензор кручення не є рівним нулю.

Властивості простору полів Якобі

Зважаючи на поданий вище вид рівняння Якобі і його властивості отримуємо, що оскільки рівняння має гладкі коефіцієнти, розв'язки існують для всіх і є єдиними, якщо задані і для всіх і довільної точки .

Зокрема звідси випливає, що розмірність простору полів Якобі рівна 2n, де n — розмірність многовида.

Тангенціальні і нормальні поля Якобі для ріманових многовидів

Всюди тут розглядється ріманів многовид із зв'язністю Леві-Чивіти.

  • Векторні поля і визначені уздовж є полями Якобі. Справді із кососиметричності тензора кривини випливає, що і також За означенням геодезичних ліній і тому також і тому задовольняє рівнянню Якобі. Для поля натомість і тому також , тож це поле теж задовольняє рівнянню Якобі. Лінійні комбінації (над полем дійсних чисел) полів і теж є полями Якобі. Поля такого типу називаються тангенціальними полями Якобі.
  • Векторне поле де — гладка функція, є полем Якобі тоді і тільки тоді, коли функція лінійна. Відповідно у цьому випадку векторне поле є лінійною комбінацією над полем дійсних чисел векторних полів і тобто тангенціальним полем Якобі. Оскільки то є полем Якобі тоді і тільки тоді, коли Але Цей вираз є рівним нулю для всіх t тоді і лише тоді коли тобто є лінійною функцією.
  • Будь-яке поле Якобі можна в єдиний спосіб записати у вигляді суми , де дійсні числа, а вектор є ортогональним до для всіх . Із властивостей ріманової метрики і означення поля Якобі Згідно властивостей тензора кривини у рімановій геометрії для будь яких векторів виконується рівність і звідси Тому також і тому для деяких дійсних чисел Тому якщо визначити то векторне поле буде ортогональним до в усіх точках геодезичної лінії. Окрім того і поле Якобі визначені однозначно. Поля Якобі, що є ортогональними до називаються нормальними полями Якобі.
  • Якщо поле Якобі X уздовж геодезичної лінії є ортогональним до в двох точках то воно є ортогональним в усіх точках геодезичної лінії. Це випливає з того, що згідно доведення попередньої властивості є лінійною функцією від t і тому, якщо вона є рівною 0 у двох різних точках, то вона є рівною 0 всюди.
  • Поле Якобі є нормальним тоді і тільки тоді, коли для довільної точки на геодезичній лінії, що відповідає деякому параметру t) виконуються рівності і Справді довільне поле Якобі однозначно записується як де векторне поле є ортогональним до Тому є нормальним тоді і тільки тоді, коли і Але записуючи у такій формі маємо:
і
тому і тоді і тільки тоді коли і
У другій рівності для доведення використано те, що і тому згідно означень геодезичної лінії і зв'язності Леві-Чивіти. Тому
  • Підсумовуючи тангенціальні поля Якобі утворюють двовимірний дійсний підпростір простору полів Якобі, а нормальні поля Якобі утворюють підпростір розмірності 2n - 2. Простір полів Якобі є прямою сумою підпросторів тангенціальних і нормальних полів Якобі.
  • Нехай — точки, що належать одній геодезичній лінії і не є спряженими щодо цієї геодезичної. Тоді для довільних існує єдине поле Якобі визначене на що приймає значення Y в точці p і Z в точці q.
  • Якщо X, Y — поля Якобі вздовж геодезичної лінії тоді:
де g — ріманова метрика. Зокрема, якщо обидва векторні поля є нульовими в деякій точці геодезичної лінії, то Ці властивості випливають з того, що:
і
Оскільки то що доводить твердження.
  • Якщо X є полем Якобі вздовж геодезичної лінії а , Y — кусково диференційовне векторне поле на цій же лінії, то для будь-яких чисел , таких, що геодезична лінія є заданою на проміжку виконується рівність:
Дана рівність випливає із інтегрування на обох сторін рівності (яка справедлива для всіх точок крім скінченної кількості точок де має розриви першого роду і тому при інтегруванні ними можна знехтувати):
  • Нехай для геодезичної лінії для якої інтервал належить області визначення, і векторного поля Y , що є кусково диференційовним вздовж геодезичної на цьому проміжку позначено Нехай додатково не має спряжених точок на геодезичній на інтервалі , векторне поле X є нормальним полем Якобі вздовж геодезичної для якого , а Y є кусково диференційовним векторним полем вздовж геодезичної на інтервалі , у кожній точці цього інтервалу є ортогональним до і Тоді і рівність виконується лише у випадку

Приклади

  • Нехай і Визначимо підмножину таким чином: тоді і тільки тоді коли експоненційне відображення є визначеним. Тоді відображення визначене як є однопараметричною сім'єю геодезичних ліній, а диференціал задає поле Якобі вздовж кожної геодезичної лінії.

Розглянемо геодезичну лінію з паралельним ортонормованим репером , , побудованим, як описано вище.

  • В евклідовому просторі (а також для просторів постійної нульової секційної кривини) поля Якобі є лінійними по .
  • Для ріманових многовидів постійної від'ємної секційної кривини будь-яке поле Якобі є лінійною комбінацією , і , де .
  • Для ріманових многовидів постійної додатної секційної кривини будь-яке поле Якобі є лінійною комбінацією , , і , де .
  • Звуження поля Кіллінга на геодезичну лінію є полем Якобі в будь-якому рімановому многовиді.
  • Поля Якобі відповідають геодезичним лініям на дотичному розшаруванні (по відношенню до метрики в , індукованої метрикою на ).

Див. Також

Література

  • Hicks, Noel (1965). Notes on Differential Geometry. Van Nostrand, Princeton, N. J. ISBN 0442034105. (англ.)
  • Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9. (англ.)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.