Ріманова геометрія

1. Теорема Гауса — Бонне — інтеграл від Гаусової кривини на компактному 2-вимірному рімановому многовиді M дорівнює 2πχ(M) де χ(M) позначає Ейлерову характеристику M. Ця теорема має узагальнення на будь-якому компактному парномірному рімановому мновиді, див. узагальнену теорему Гауса-Бонне.
2. Теорема Неша про регулярні вкладення, також її називають фундаментальною теоремою геометрії Рімана. Вона стверджує, що кожен Ріманів многовид можна ізометрично вкласти в Евклідів простір Rⁿ.

У всіх наступних теоремах ми припускаємо деяку локальну поведінку простору (зазвичай сформульовані припущенням про кривину), щоб отримати деяку інформацію про глобальну структуру простору, в тому числі будь-яку інформацію про топологічний тип многовиду або про поведінку точок на «достатньо великих» відстанях.

1. Теорема про сферу. Якщо M є компактний однозв'язний n-вимірний ріманів многовид з секційною кривиною затиснутою між 1/4 і 1, то M дифеоморфний сфері.
2. Теорема скінченності Чігера. Для заданих констант C, D і V, існує скінченне число (з точністю до дифеоморфізмів) — компактних n-вимірних ріманових многовидів з секційною кривиною |K| ≤ C, діаметром ≤ D та об'ємом ≥ V.
3. Майже плоскі многовиди Громова. Існує ε_n >0 таке, що якщо n-вимірний ріманів многовид має метрику з секційною кривиною |K| ≤ ε_n та діаметр ≤ 1, то його скінченне покриття дифеоморфне нільмноговиду.

1. Теорема душі Чігера-Громолла. Якщо M є некомпактний повний n-вимірний ріманів многовид невід'ємної кривини, то M містить компактний, цілком геодезичний підмноговид S такий, що M дифеоморфне нормальному шаруванню S (S називається душею M.) Зокрема, якщо M має строго додатну кривину всюди, то воно дифеоморфне Rⁿ. Г. Перельман в 1994 році дав дивно елегантний/короткий доказ гіпотези: M дифеоморфне Rⁿ якщо воно має додатну кривину хоча б в одній точці.
2. Теорема Громова про число Бетті. Існує константа C = C(n) така, що якщо M є компактним зв'язним n-вимірним рімановим многовидом з додатною секційною кривиною, то сума його чисел Бетті максимально C.
3. Теорема обмеженості Грува-Петерсена. Для заданих констант C, D і V, існує скінченне число гомотопних типів компактних n-вимірних ріманових многовидів з секційною кривиною K ≥ C, діаметром ≤ D та об'ємом ≥ V.

1. Теорема Адамара — Картана стверджує, що повний однозв'язний Ріманів многовид M з від'ємною секційною кривиною дифеоморфний Евклідовому простору Rⁿ з n = dim M за допомогою експоненціального відображення в будь-якій точці. Це означає, що будь-які дві точки однозв'язних повних ріманових многовидів з від'ємною секційною кривиною з'єднані єдиною геодезичною кривою.
2. Геодезичний потік будь-якого компактного ріманового многовиду з від'ємною секційною кривиною ергодичний.
3. Якщо M є повним рімановим многовидом з секційною кривиною, обмеженою зверху строго від'ємною константою k то це CAT(k) простір. Тому, його фундаментальна група Γ = π₁(M) є гіперболічною групою Громова. Це має багато наслідків для структури фундаментальної групи:

• вона скінченно представлена;
• проблема тотожності для Γ має позитивне рішення;
• група Γ має скінченну віртуальну когомологічну розмірність;
• вона містить лише скінченну кількість класів спряженості елементів скінченного порядку;
• Абелеві підгрупи Γ є фактично циклічними, так що вона не містить підгрупу ізоморфічну Z×Z.

1. Теорема Майерса. Якщо компактний ріманів многовид має додатну кривину Річчі, то його фундаментальна група скінченна.
2. Теорема розщеплення. Якщо повний n-вимірний ріманів многовид має невід'ємну кривину Річчі і пряму лінію (тобто геодезичну, яка мінімізує відстань на кожному відрізку), то він ізометрічний прямому добутку числової прямої ${\displaystyle \mathbb {R} }$ та повного (n-1)-вимірного ріманового многовиду, з невід'ємною кривиною Річчі.
3. Нерівність Бішопа-Громова. Об'єм метричної кулі з радіусом r в повному n-вимірному рімановому многовиді з додатною кривиною Річчі не перевищує об'єм кулі того ж радіуса r в Евклідовому просторі.
4. Теорема Громова про компактність. Множина ріманових многовидів з додатними кривинами Річчі, діаметром не більше D є пред-компактом в метриці Громова-Хаусдорфа.

1. Ізометрична група компактного ріманового многовиду з від'ємною кривиною Річчі є дискретною.
2. На будь-якому гладкому многовиду вимірності n≥3 можна ввести ріманову метрику з від'ємною кривиною Річчі[3] (Це невірно для поверхонь.)

1. n-вимірний тор не допускає метрику з додатною скалярною кривиною.
2. Якщо радіус ін'єктивності компактного n-вимірного ріманового многовиду ≥ π тоді середня скалярна кривина не перевищує n(n-1).