Теорема Руше

З нерівності ${\displaystyle |f(z)-g(z)|<|f(z)|\,}$ випливає, що функції ${\displaystyle f,g}$ не мають нулів на ${\displaystyle \partial G.}$ Поділивши ${\displaystyle |g(z)-f(z)|=|f(z)-g(z)|}$ на ${\displaystyle |f(z)|}$ одержуємо нерівність ${\displaystyle |F(z)-1|<1,\,\forall z\in \partial G,}$ де ${\displaystyle F(z)={\frac {g(z)}{f(z)}}.}$

Звідси бачимо, що образ ${\displaystyle \partial G'}$ контуру ${\displaystyle \partial G}$ щодо відображення ${\displaystyle w=F(z)}$ лежить всередині відкритого круга радіуса 1 з центром в точці ${\displaystyle w=1.}$ Оскільки 0 не належить цьому кругу, то функція ${\displaystyle {\frac {1}{w}}}$ буде голоморфною в цьому кругу і, відповідно, на контурі ${\displaystyle \partial G'}$ і в обмеженій ним області. Тоді згідно з інтегральною теоремою Коші:

${\displaystyle \oint _{\partial G'}{\frac {1}{w}}\,dw=0.}$

Оскільки ${\displaystyle w=F(z),\,dw=F'(z)dz,}$ то звідси

${\displaystyle \oint _{\partial G}{\frac {F'(z)}{F(z)}}\,dz=0.\quad (*)}$

З формули похідної від частки можна одержати:

${\displaystyle {\frac {F'(z)}{F(z)}}={\frac {g'(z)}{g(z)}}-{\frac {f'(z)}{f(z)}}}$

Підставляючи цей вираз в (*) одержуємо:

${\displaystyle \oint _{\partial G}{\Bigg [}{\frac {g'(z)}{g(z)}}-{\frac {f'(z)}{f(z)}}{\Bigg ]}\,dz=0}$

або

${\displaystyle \oint _{\partial G}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\oint _{\partial G}{\frac {g'(z)}{g(z)}}\,dz\quad .}$

Оскільки згідно з умовою функції f, g є голоморфними і не мають полюсів, то з принципом аргументу випливає, що кількість нулів для цих функцій в області G має бути однаковою.

• Інтегральна теорема Коші
• Основна теорема про лишки
• Принцип аргументу
• Принцип збереження області

• Дьедонне Ж. Основы современного анализа, — М. Мир, 1964
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
• Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
• Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372