Інтегральна теорема Коші

Згідно з властивістю інтегралу:

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)dz=\int _{\gamma }Udx-Vdy+i\int _{\gamma }Udy+Vdx\,}$

Оскільки ${\displaystyle f(z)}$ має неперервну похідну першого порядку в області ${\displaystyle D}$, то частинні похідні від U та V також є неперервними в області ${\displaystyle D.}$

Згідно теореми Гріна тоді інтеграли по контуру можна замінити на інтеграли по області (позначимо її R), яку обмежує цей контур, а саме:

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)dz=\int _{\gamma }Udx-Vdy+i\int _{\gamma }Udy+Vdx=\iint \limits _{R}\left(-{\partial v \over \partial x}-{\partial u \over \partial y}\right)dA+i\iint \limits _{R}\left({\partial u \over \partial x}-{\partial v \over \partial y}\right)dA.}$

Оскільки ${\displaystyle f(z)}$ є голоморфною функцією, то виконуються умова Коші-Рімана:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$ і

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$

Із цих рівностей випливає рівність нулю двох інтегралів у правій частині інтегральної рівності, а тому також ${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)dz=0.}$

Нехай твердження теореми не виконується і існує трикутник ${\displaystyle \Delta \subset D}$ такий, що

${\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta }f(z)dz\right|=M>0.}$

Припустимо, що границя ${\displaystyle \partial \Delta ,}$ яка є кусково гладкою кривою) є орієнтована проти годинникової стрілки.

Розіб'ємо трикутник ${\displaystyle \Delta }$ на чотири трикутники середніми лініями і введемо на границях цих трикутників орієнтацію проти годинникової стрілки.

Очевидно, що інтеграл від f по ${\displaystyle \partial \Delta }$ дорівнює сумі інтегралів по границях малих трикутників, бо інтеграли по середніх лініях беруться двічі в протилежних напрямках і тому взаємно скорочуються, а інші границі утворюють ${\displaystyle \partial \Delta }$ із відповідною орієнтацією. Тому знайдеться хоча б один малий трикутник ${\displaystyle \Delta _{1}}$ для якого

${\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta _{1}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4}.}$

Трикутник ${\displaystyle \Delta _{1}}$ знову можна розбити середніми лініями на чотири трикутника і, як і вище, серед них є хоча б один ${\displaystyle \Delta _{2}}$ такий, що

${\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta _{2}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4^{2}}.}$

За індукцією побудуємо послідовність вкладених один в одного трикутників таких, що для інтеграла по границі ${\displaystyle n}$-го трикутника виконується нерівність:

${\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4^{n}}.}$

Послідовність вкладених трикутників ${\displaystyle \Delta _{n}}$ має спільну точку ${\displaystyle z_{0}.}$ Очевидно ${\displaystyle z_{0}\in \Delta \subset D}$ і функція f є голоморфною в точці ${\displaystyle z_{0}.}$ Тому з означення комплексної похідної для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ знайдеться ${\displaystyle \delta >0}$ таке, що для всіх точок околу ${\displaystyle V=\{|z-z_{0}|<\delta \}}$ у рівності

${\displaystyle f(z)-f(z_{0})=f'(z_{0})(z-z_{0})+g(z)(z-z_{0})}$

для функції g виконується нерівність ${\displaystyle |g(z)|<\varepsilon .}$

Усі трикутники побудованої послідовності починаючи з деякого ${\displaystyle \Delta _{n}}$ належать околу V. Тому

${\displaystyle \int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz=\int _{\partial \Delta _{n}}f(z_{0})dz+\int _{\partial \Delta _{n}}f'(z_{0})(z-z_{0})dz+\int _{\partial \Delta _{n}}g(z)(z-z_{0})dz.}$

Але перші два інтеграли справа є рівними нулю оскільки множники ${\displaystyle f(z_{0})}$ і ${\displaystyle f'(z_{0})}$ можна винести за знак інтеграла, а інтеграли від 1 і ${\displaystyle z-z_{0}}$ по замкнутому контуру ${\displaystyle \partial \Delta _{n}}$ є рівними 0.

Оскільки ${\displaystyle |g(z)|<\varepsilon }$ для всіх ${\displaystyle z\in \partial \Delta _{n}}$ і також для всіх ${\displaystyle z\in \partial \Delta _{n}}$ величина ${\displaystyle z-z_{0}}$ не перевищує периметра ${\displaystyle P(\Delta _{n})}$ трикутника ${\displaystyle \Delta _{n},}$ то

${\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|=\left|\int _{\partial \Delta _{n}}g(z)(z-z_{0})dz\right|<\varepsilon P(\Delta _{n}).}$

Але за побудовою ${\displaystyle P(\Delta _{n})={P(\Delta ) \over 2^{n}},}$ де ${\displaystyle P(\Delta )}$ позначає периметр трикутника ${\displaystyle \Delta ,}$ тож також

${\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|<\varepsilon P(\Delta _{n}){P(\Delta ) \over 2^{n}}}$

і враховуючи, що ${\displaystyle \left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4^{n}}}$ остаточно

${\displaystyle M<\varepsilon (P(\Delta ))^{2}.}$

Із довільності числа ${\displaystyle \varepsilon }$ випливає, що M = 0 всупереч припущенню.

Нехай тепер ${\displaystyle a_{0},\ldots a_{m}\in D}$ є точками у області ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ на якій функція є голоморфною і замкнута опукла оболонка цих точок є підмножиною ${\displaystyle D.}$ Позначимо ${\displaystyle L_{a_{0},\ldots ,a_{m}}}$ орієнтовану замкнуту ламану лінію (можливо із самоперетинами) одержану із відрізків, що сполучають точки ${\displaystyle a_{i}}$ і ${\displaystyle a_{i+1}}$ (із відповідним напрямком) і відрізку із точки ${\displaystyle a_{m}}$ до точки ${\displaystyle a_{0}.}$ Тоді:

${\displaystyle \int _{L_{a_{0},\ldots ,a_{m}}}f(z)dz=0.}$

Для ${\displaystyle m=0}$ (коли ламана лінія є точкою) і ${\displaystyle m=1}$ (коли ламана лінія є відрізком, який проходиться спершу в одному напрямку, а потім в протилежному) твердження є очевидним. Випадок ${\displaystyle m=2}$ є випадком трикутників, який доведений вище. Нехай тепер ${\displaystyle m>2}$ і припустимо за індукцією, що твердження доведено для всіх ламаних ліній для ${\displaystyle m-1.}$ Тоді можна записати:

${\displaystyle \int _{L_{a_{0},\ldots ,a_{m}}}f(z)dz=\int _{L_{a_{0},\ldots ,a_{m-1}}}f(z)+\int _{L_{a_{m-1},a_{m},a_{0}}}f(z)}$

оскільки відрізок, що з'єднує точки ${\displaystyle a_{0}}$ і ${\displaystyle a_{m-1}}$ у двох інтегралах з правої сторони проходять у різних напрямках і відповідні значення інтегралів скорочуються, а всі інші відрізки у лівій і правій стороні є однаковими із врахуванням напрямку. Але згідно припущення індукції обидва інтеграли з правої сторони є рівними нулю, що й доводить твердження.

Якщо ${\displaystyle D(z_{0},r)}$ є відкритим кругом із центром у точці ${\displaystyle z_{0}}$ і радіусом ${\displaystyle r}$ і функція f є голоморфною в цьому крузі, то можна ввести функцію ${\displaystyle F(z)=\int _{[z_{0},z]}f(\xi )d\xi .}$ Із теореми Коші — Гурса для трикутників легко можна довести, що ${\displaystyle F(z)}$ є первісною для ${\displaystyle f(z),}$ тобто ${\displaystyle F'(z)=f(z).}$

Також із твердження теореми для ламаних ліній випливає, що для будь-яких точок ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in D(z_{0},r)}$ і спрямлюваної кривої ${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to D(z_{0},r)} для якої ${\displaystyle \gamma (0)=z_{1},\ \gamma (1)=z_{2}}$ виконується рівність ${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)dz=F(z_{2})-F(z_{1})}$.

Зокрема, якщо ${\displaystyle \gamma _{1}:[0,1]\to D(z_{0},r)}$ і ${\displaystyle \gamma _{2}:[0,1]\to D(z_{0},r)}$ є спрямлюваними кривими із однаковими початковими і кінцевими точками то:

${\displaystyle \int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{2}}f(z)\ dz.}$

Це твердження є варіантом загальної теореми Коші — Гурса для круга.

Нехай ${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\times [a,b]\rightarrow U} є гомотопією із ${\displaystyle \gamma _{0}}$ у ${\displaystyle \gamma _{1}}$. Для будь-яких ${\displaystyle s\in [0,1]}$ і ${\displaystyle t\in [a,b]}$ точка ${\displaystyle \gamma (s,t)}$ належить ${\displaystyle U}$. Із компактності випливає існування радіуса ${\displaystyle r>0}$ для якого ${\displaystyle D(\gamma (s,t),r)\subset U}$ для всіх ${\displaystyle s\in [0,1]}$ і ${\displaystyle t\in [a,b]}$. Оскільки відображення ${\displaystyle \gamma }$ є неперервним на компактній множині то воно є рівномірно неперервним. Зокрема існує ${\displaystyle \delta >0}$ для якого

${\displaystyle |\gamma (s',t')-\gamma (s,t)|\leqslant {\frac {r}{4}}}$

для всіх ${\displaystyle s,s'\in [0,1]}$ і ${\displaystyle t,t'\in [a,b]}$ для яких ${\displaystyle |s-s'|\leqslant \delta }$ і ${\displaystyle |t-t'|\leqslant \delta }$. Нехай ${\displaystyle 0=s_{0}<\dots <s_{n}=1}$ і ${\displaystyle a=t_{0}<\dots <t_{m}=b}$ є розбиттями відповідних відрізків для яких ${\displaystyle {|s_{i}-s_{i-1}|\leqslant \delta }}$ і ${\displaystyle {|t_{j}-t_{j-1}|\leqslant \delta }}$ для всіх ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n}$ і ${\displaystyle 1\leqslant j\leqslant m}$. Для кожного ${\displaystyle i}$ і ${\displaystyle j}$ позначимо ${\displaystyle C_{i,j}}$ замкнутий контур із точок

${\displaystyle C_{i,j}:=\gamma _{\gamma (s_{i},t_{j-1})\rightarrow \gamma (s_{i},t_{j})\rightarrow \gamma (s_{i-1},t_{j})\rightarrow \gamma (s_{i-1},t_{j-1})\rightarrow \gamma (s_{i},t_{j-1})}.}$

За побудовою довжина цього контура є меншою, ніж ${\displaystyle {\frac {r}{4}}+{\frac {r}{4}}+{\frac {r}{4}}+{\frac {r}{4}}=r,}$ тож контур цілком міститься у крузі ${\displaystyle D(\gamma (s_{i},t_{i}),r).}$

Тому із попереднього

${\displaystyle \int _{C_{i,j}}f(z)\ dz=0}$

для всіх ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n}$ і ${\displaystyle 1\leqslant j\leqslant m}$. Просумувавши ці рівності для всіх ${\displaystyle i}$ і ${\displaystyle j}$, враховуючи фіксацію кінцевих точок при гомотопії і здійснивши всі скорочення одержуємо, що

${\displaystyle \int _{\gamma _{\gamma (0,t_{0})\rightarrow \gamma (0,t_{1})\rightarrow \dots \rightarrow \gamma (0,t_{n})}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{\gamma (1,t_{0})\rightarrow \gamma (1,t_{1})\rightarrow \dots \rightarrow \gamma (1,t_{n})}}f(z)\ dz}$

Далі можна записати рівність

${\displaystyle \int _{\gamma _{\gamma (0,t_{i-1})\rightarrow \gamma (0,t_{i})}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{0,[t_{i-1},t_{i}]}}f(z)\ dz}$

для ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$, де ${\displaystyle \gamma _{0,[t_{i-1},t_{i}]}:[t_{i-1},t_{i}]\rightarrow U}$ є обмеженням ${\displaystyle \gamma _{0}:[a,b]\rightarrow U}$ на ${\displaystyle [t_{i-1},t_{i}]}$ і так само для ${\displaystyle \gamma _{1}}$. Дана рівність випливає із теореми Коші — Гурса для кругів, оскільки і відрізок, що сполучає точки ${\displaystyle \gamma (0,t_{i-1})}$ і ${\displaystyle \gamma (0,t_{i})}$ і крива ${\displaystyle \gamma _{0,[t_{i-1},t_{i}]}}$ за побудовою належать кругу ${\displaystyle D(\gamma (s_{0},t_{i}),r).}$

Разом із цього отримуємо

${\displaystyle \int _{\gamma _{0}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz.}$

Подані вище варіанти теореми дозволяють ввести поняття комплексного інтегралу для довільних неперервних шляхів ${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\rightarrow U} (не обов'язково спрямлюваних). Для такого шляху із його компактності випливає існування такого розбиття ${\displaystyle a=t_{0}<\dots <t_{m}=b}$, що всі відрізки виду ${\displaystyle [\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i+1})]}$ належать ${\displaystyle U}$. Тоді можна розглянути ${\displaystyle {\bar {\gamma }}:[a,b]\rightarrow U}$ — ламану лінію із цих відрізків із необхідною параметризацією. Очевидно ${\displaystyle {\bar {\gamma }}}$ є спрямлюваною кривою.

Тоді можна взяти за означенням ${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\ dz:=\int _{\bar {\gamma }}f(z)\ dz.}$ Із теореми Коші — Гурса випливає незалежність значення інтегралу від вибору ламаної лінії ${\displaystyle {\bar {\gamma }}}$.

Якщо тепер ${\displaystyle \gamma _{0}:[a,b]\rightarrow U}$ і ${\displaystyle \gamma _{1}:[a,b]\rightarrow U}$ є гомотопними (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і неперервними, то із таким означенням інтегралу:

${\displaystyle \int _{\gamma _{0}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz.}$