Теорема Ріса

Якщо ${\displaystyle f\equiv 0}$, достатньо взяти ${\displaystyle y=0}$.

Якщо ж ${\displaystyle f\neq 0}$, тоді ${\displaystyle \ker(f)\neq H}$ . Відповідно можна знайти елемент ${\displaystyle b\in \ker(f)^{\bot }\smallsetminus {\big \{}0{\big \}}}$,

${\displaystyle \forall x\in H}$, позначимо ${\displaystyle p_{x}=x-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}b}$.

Оскільки очевидно ${\displaystyle p_{x}\in \ker(f)}$ маємо за означенням b, що ${\displaystyle \langle b,p_{x}\rangle =0}$. З лінійності скалярного добутку отримуємо:

${\displaystyle \left\langle b,x-{f(x) \over f(b)}b\right\rangle =0=\langle b,x\rangle -{f(x) \over f(b)}\|b\|^{2}}$

Звідси ${\displaystyle f(x)=\langle b,x\rangle {\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}}$.

Нарешті

${\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle }$

де позначено ${\displaystyle y={\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}b}$.

Припустимо ${\displaystyle y}$ і ${\displaystyle z}$ елементи ${\displaystyle H}$ Що задовольняють ${\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle =\langle z,x\rangle }$.

Для всіх ${\displaystyle x\in H}$ справджується ${\displaystyle \langle y-z,x\rangle =0}$ зокрема ${\displaystyle \langle y-z,y-z\rangle =\|y-z\|^{2}=0}$ звідки й отримується рівність ${\displaystyle y=z}$.

Для доведення ${\displaystyle \|y\|=\|f\|}$ спершу з нерівності Коші-Буняковського маємо: ${\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle \leq \|y\|\|x\|}$. Звідси згідно з визначенням норми функціоналу маємо: ${\displaystyle \|f\|\leq \|y\|.}$ З іншого боку ${\displaystyle f(y)=\langle y,y\rangle \leq \|y\|\|f\|}$ звідки ${\displaystyle \|y\|\leq \|f\|}$. Поєднуючи дві нерівності одержуємо ${\displaystyle \|y\|=\|f\|}$