Теорема про рівні вписані кола

Теорема стверджує, що за описаної вище побудови кола, вписані в трикутники, утворені променями через один (тобто отримані об'єднанням двох сусідніх трикутників), через два і т. д., також рівні. Випадок сусідніх трикутників показаний на малюнку зеленими колами: всі вони однакові.

З факту, що твердження теореми не залежить від кута між початковим променем і заданою прямою, можна зробити висновок, що теорема скоріше належить до математичного аналізу, а не геометрії, і повинна мати стосунок до неперервної масштабної функції, яка визначає відстань між променями. Фактично цією функцією є гіперболічний синус.

Теорема є прямим наслідком такої леми.

Припустимо, що n-й промінь утворює з нормаллю до базової прямої кут ${\displaystyle \gamma _{n}}$. Якщо ${\displaystyle \gamma _{n}}$ параметризовано відповідно до рівності ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,\theta _{n}}$, то значення ${\displaystyle \theta _{n}=a+nb}$, де ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ — дійсні сталі, визначають послідовність променів, які задовольняють умовам вписаних кіл (див. вище), і більше того, будь-яку послідовність променів, що задовольняють цим умовам, можна отримати належним вибором параметрів ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$.

На малюнку суміжні промені PS і PT утворюютьють з прямою PR, перпендикулярною до базової прямої RT, кути ${\displaystyle \gamma _{n}}$ і ${\displaystyle \gamma _{n+1}}$.

Проведемо через центр O вписаного в трикутник ${\displaystyle \triangle }$ PST кола пряму QY, паралельну до базової прямої. Це коло дотикається до променів у точках W і Z. відрізок PQ має довжину ${\displaystyle h-r}$, а відрізок QR має довжину ${\displaystyle r}$, що дорівнює радіусу вписаного кола.

Тоді ${\displaystyle \triangle }$ OWX подібний ${\displaystyle \triangle }$ PQX, ${\displaystyle \triangle }$ OZY подібний ${\displaystyle \triangle }$ PQY, а з XY = XO + OY ми отримуємо

${\displaystyle (h-r)(\mathrm {tg} \,\gamma _{n+1}-\mathrm {tg} \,\gamma _{n})=r(\sec \gamma _{n}+\sec \gamma _{n+1}).}$

Це відношення на множині кутів ${\displaystyle \{\gamma _{m}\}}$ виражає умову рівності вписаних кіл.

Для доведення леми покладемо ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,(a+nb)}$. Цей вираз можна перетворити на ${\displaystyle \sec \gamma _{n}=\mathrm {ch} \,(a+nb)}$.

Використовуючи рівність ${\displaystyle a+(n+1)b=(a+nb)+b}$, застосовуємо додаткові правила для ${\displaystyle \mathrm {sh} \,}$ і ${\displaystyle \mathrm {ch} \,}$ і перевіряємо, що відношення рівності кіл задовольняється виразом

${\displaystyle {\frac {r}{h-r}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {b}{2}}.}$

Ми отримали вираз для параметра ${\displaystyle b}$ в термінах геометричних величин ${\displaystyle h}$ і ${\displaystyle r}$. Далі, визначаючи ${\displaystyle b}$, отримуємо вираз для радіусів ${\displaystyle r_{N}}$ вписаних кіл, утворених вибором кожного N-го променя стороною трикутника:

${\displaystyle {\frac {r_{N}}{h-r_{N}}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {Nb}{2}}.}$

• Японська теорема про вписані в коло многокутники
• Японська теорема про вписаний чотирикутник

• Tabov J. A note on the five-circle theorem // Mathematics Magazine. — 1989. — Т. 63. — № 2. — С. 92-94.