Гіперболічні функції

Гіперболічні функції виражаються через тригонометричні функції від уявного аргументу.

${\displaystyle \operatorname {sh} x=-i\sin(ix),\quad \operatorname {ch} x=\cos(ix),\quad \operatorname {th} x=-i\operatorname {tg} (ix)}$.

${\displaystyle \operatorname {sh} (ix)=i\operatorname {sin} x,\quad \operatorname {ch} (ix)=\cos x,\quad \operatorname {th} (ix)=i\operatorname {tg} x}$.

Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції та гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.

1. ${\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1}$.
2. Парність:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x}$,
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x}$,
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} x}$.
3. Формули додавання:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {ch} x}$,
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {sh} x}$,
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} (x\pm y)={\frac {\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y}{1\pm \operatorname {th} x\operatorname {th} y}}}$.
4. Формули подвоєного кута:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} 2x=2\operatorname {ch} x\,\operatorname {sh} x={\frac {2\,\operatorname {th} x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}}$,
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} 2x=\operatorname {ch} ^{2}x+\operatorname {sh} ^{2}x=2\operatorname {ch} ^{2}x-1=1+2\operatorname {sh} ^{2}x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}}$,
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} 2x={\frac {2\operatorname {th} x}{1+\operatorname {th} ^{2}x}}}$,
   4. ${\displaystyle \operatorname {cth} 2x={\frac {1}{2}}(\operatorname {th} x+\operatorname {cth} x)}$,
   5. ${\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {\operatorname {ch} 2x-1}{\operatorname {sh} 2x}}={\frac {\operatorname {sh} 2x}{1+\operatorname {ch} 2x}}}$,
   6. ${\displaystyle \operatorname {ch} 2x\pm \operatorname {sh} 2x=(\operatorname {sh} x\pm \operatorname {ch} x)^{2}}$.
5. Формули кратних кутів:
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} 3x=4\operatorname {sh} ^{3}x+3\operatorname {sh} x}$,
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} 3x=4\operatorname {ch} ^{3}x-3\operatorname {ch} x}$,
   3. ${\displaystyle \operatorname {th} 3x=\operatorname {th} x{\frac {3+\operatorname {th} ^{2}x}{1+3\operatorname {th} ^{2}x}}}$,
   4. ${\displaystyle \operatorname {sh} 5x=16\operatorname {sh} ^{5}x+20\operatorname {sh} ^{3}x+5\operatorname {sh} x}$,
   5. ${\displaystyle \operatorname {ch} 5x=16\operatorname {ch} ^{5}x-20\operatorname {ch} ^{3}x+5\operatorname {ch} x}$,
   6. ${\displaystyle \operatorname {th} 5x=\operatorname {th} x{\frac {\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+5}{5\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+1}}}$.
6. Добуток
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} x\operatorname {sh} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{2}}}$,
   2. ${\displaystyle \operatorname {sh} x\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {sh} (x+y)+\operatorname {sh} (x-y)}{2}}}$,
   3. ${\displaystyle \operatorname {ch} x\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}{2}}}$,
   4. ${\displaystyle \operatorname {th} x\operatorname {th} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}}}$.
7. Суми
   1. ${\displaystyle \operatorname {sh} x\pm \operatorname {sh} y=2\operatorname {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x\mp y}{2}}}$,
   2. ${\displaystyle \operatorname {ch} x+\operatorname {ch} y=2\operatorname {ch} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x-y}{2}}}$,
   3. ${\displaystyle \operatorname {ch} x-\operatorname {ch} y=2\operatorname {sh} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {sh} {\frac {x-y}{2}}}$,
   4. ${\displaystyle \operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y={\frac {\operatorname {sh} x\pm y}{\operatorname {ch} x\operatorname {ch} y}}}$.
8. Формули пониження степеня
   1. ${\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x+1}{2}}}$,
   2. ${\displaystyle \operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x-1}{2}}}$.
9. Похідні:
   1. ${\displaystyle (\operatorname {sh} x)^{\prime }=\operatorname {ch} x}$,
   2. ${\displaystyle (\operatorname {ch} x)^{\prime }=\operatorname {sh} x}$,
   3. ${\displaystyle (\operatorname {th} x)^{\prime }={\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}}$,
   4. ${\displaystyle \operatorname {sh} x=\int \limits _{0}^{x}\operatorname {ch} tdt}$,
   5. ${\displaystyle \operatorname {ch} x=1+\int \limits _{0}^{x}\operatorname {sh} tdt}$,
   6. ${\displaystyle \operatorname {th} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\operatorname {ch} ^{2}t}}}$.
10. Інтеграли:
    1. ${\displaystyle \int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C}$,
    2. ${\displaystyle \int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C}$,
    3. ${\displaystyle \int \operatorname {th} x\,dx=\ln \operatorname {ch} x+C}$,
    4. ${\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\,dx=\operatorname {th} x+C}$,
    5. ${\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}\,dx=-\operatorname {cth} x+C}$.

Дивись також: Таблиця інтегралів гіперболічних функцій, Таблиця інтегралів обернених гіперболічних функцій

При всіх ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ виконується

1. ${\displaystyle 0\leq \operatorname {ch} x-1\leq |\operatorname {sh} x|<\operatorname {ch} x}$,
2. ${\displaystyle |\operatorname {th} x|<1}$.

${\displaystyle \operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$,

${\displaystyle \operatorname {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$,

${\displaystyle \operatorname {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}}$,

${\displaystyle \operatorname {cth} x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\ldots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi }$ (Ряд Лорана).

Тут ${\displaystyle B_{2n}}$ — числа Бернуллі.

Гіперболічний синус і гіперболічний косинус аналітичний у всій комплексній площині, за винятком істотно особливої точки на нескінченності. Гіперболічний тангенс аналітичний скрізь, окрім полюсів в точках ${\displaystyle z=i\pi (n+{\tfrac {1}{2}})}$, де ${\displaystyle n}$ — ціле. Лишки у всіх цих полюсах рівні одиниці. Гіперболічний котангенс аналітичний скрізь, окрім точок ${\displaystyle z=i\pi n}$, лишки в цих полюсах також рівні одиниці.