Теорема уніформізації

Будь-яка однозв'язна ріманова поверхня конформно еквівалентна сфері Рімана ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$, комплексній площині ${\displaystyle \mathbb {C} }$ або відкритому одиничному диску ${\displaystyle \mathbb {D} =\{\,z\in \mathbb {C}$ :|z|<1\,\}} .

• Будь-яка ріманова метрика на зв'язному двовимірному многовиді конформно еквівалентна повній метриці зі сталою кривиною.
  • Якщо многовид замкнутий, то знак кривини можна знайти за його ейлеровою характеристикою:
    • якщо ейлерова характеристика додатна, то многовид конформно еквівалентний сфері або проєктивній площині з канонічною метрикою;
    • якщо ейлерова характеристика дорівнює нулю, то многовид конформно еквівалентний плоскому тору або плоскій пляшці Кляйна. При цьому тор і пляшка Кляйна мають 2-параметричне сімейство плоских метрик, які не конформно еквівалентні одно одній.
    • Якщо ейлерова характеристика від'ємна, то многовид конформно еквівалентний гіперболічній поверхні.

Теорему геометризації можна розглядати як узагальнення теореми про уніформізацію на тривимірні многовиди.

• Abikoff, William. The uniformization theorem // Amer. Math. Monthly. — 1981. — Vol. 88, no. 8 (3 December). — P. 574–592.