Теорема Рімана про відображення

Голоморфна функція, що є взаємно-однозначною (тобто оборотною), є конформним відображенням, так що теорему можна формулювати в термінах конформної еквівалентності. Також, не має значення, стверджувати про існування функції ${\displaystyle f\colon D\to U}$ або оберненої ${\displaystyle f^{-1}\colon U\to D}$. Можна навіть вимагати існування відображення з будь-якої однозв'язної області в будь-яку іншу однозв'язну — твердження теореми від цього не стане сильнішим.

Дана теорема здається парадоксальною, оскільки умови на область є чисто топологічними і ніяк не обумовлюють геометрію її межі. Насправді, порівняно легко будуються конформні відображення круга не тільки на многокутники і подібні фігури, але і області на зразок круга з одним вирізаним радіусом і т. д. Можна навіть побудувати функцію на кругу, образ якої має ніде не гладку межу. Втім, Ріман зумів довести теорему лише в припущенні кускової гладкості межі.

Оскільки одиничний круг легко нетотожно конформно відобразити на себе, то шукане конформне відображення єдиним бути не може. Проте, легко бачити, що вся неоднозначність в побудові відображення відноситься до автоморфізмів одиничного круга, які утворюють дійсну 3-мірну групу Лі. Зокрема, якщо ${\displaystyle z_{0}}$ — елемент множини ${\displaystyle U}$ і φ — довільний кут, тоді існує єдине відображення ${\displaystyle f}$ із теореми Рімана, яке додатково задовольняє умовам ${\displaystyle f}$ відображає ${\displaystyle z_{0}}$ в ${\displaystyle 0}$ і аргумент похідної ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle z_{0}}$ рівний куту φ.

Доведемо, що в ${\displaystyle D\,}$ існує хоча б одна голоморфна і ін'єктивна функція, що по модулю є меншою 1. За умовою межа ${\displaystyle \partial D\,}$містить дві різні точки ${\displaystyle \alpha ,\ \beta .}$ Квадратний корінь ${\displaystyle {\sqrt {\frac {z-\alpha }{z-\beta }}}}$має аналітичне продовження вздовж будь-якого шляху в області ${\displaystyle D\,}$ і оскільки ця область є однозв'язною, то по теоремі про монодромію цей корінь допускає виділення в ${\displaystyle D\,}$ двох однозначних гілок ${\displaystyle \varphi _{1}}$ і ${\displaystyle \varphi _{2},}$що відрізняються знаком.

Кожна з цих гілок є ін'єктивною в ${\displaystyle D\,}$, бо з рівності ${\displaystyle \varphi _{i}(z_{1})=\varphi _{i}(z_{2})}$випливає рівність

${\displaystyle {\frac {z_{1}-\alpha }{z_{1}-\beta }}={\frac {z_{2}-\alpha }{z_{2}-\beta }},}$

а з неї, зважаючи на ін'єктивність дробово-лінійної функції, рівність ${\displaystyle z_{1}=z_{2}}$. Ці гілки відображають ${\displaystyle D\,}$відповідно на області ${\displaystyle {\bar {D}}_{1}=\varphi _{1}(D)}$ і ${\displaystyle {\bar {D}}_{2}=\varphi _{2}(D)}$, які не мають спільних точок, бо в іншому випадку знайшлися б точки ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in D}$ такі, що ${\displaystyle \varphi _{1}(z_{1})=\varphi _{2}(z_{2})}$, але з останнього рівності знову випливає рівність ${\displaystyle z_{1}=z_{2}}$, а тому ${\displaystyle \varphi _{1}(z_{1})=-\varphi _{2}(z_{2}),}$що неможливо оскільки ${\displaystyle 0\not \in D.}$

Область ${\displaystyle {\bar {D}}_{2}}$ містить деякий круг ${\displaystyle \{|w-w_{0}|<\rho \},}$а тому ${\displaystyle \varphi _{1}}$ в ${\displaystyle D\,}$не набуває значень з цього кола. Тому функція

${\displaystyle g(z)={\frac {\rho }{\phi _{1}(z)-w_{0}}},}$

очевидно є голоморфною і ін'єктивною і обмеженою в ${\displaystyle D\,}$:

${\displaystyle g(z)\leqslant 1,\,\forall z\in D.}$

Позначимо як ${\displaystyle S\,}$ сім'ю всіх голоморфних і ін'єктивних в ${\displaystyle D\,}$ функцій, по модулю всюди менших 1. Ця

сім'я є непустою, бо містить функцію ${\displaystyle g(z)}$ і по теоремі Монтеля вона є нормальною. Підсім'я ${\displaystyle S_{1}}$ сім'ї ${\displaystyle S\,}$, до якої належать усі функції з ${\displaystyle S\,}$для яких

${\displaystyle |f'(a)|\geqslant g'(a)>0}$

в деякій фіксованій точці ${\displaystyle a\in D}$ є нормальною в собі. А саме з наслідку теореми Гурвіца границя послідовності функцій ${\displaystyle f_{n}\in S_{1}}$

що сходиться рівномірно на будь-якій компактній підмножині ${\displaystyle K\subset D}$, може бути лише ін'єктивною функцією (і тоді належати ${\displaystyle S_{1}}$) або

постійною, але останній випадок виключений нерівністю з означення ${\displaystyle S_{1}}$.

Розглянемо на ${\displaystyle S_{1}}$ функціонал ${\displaystyle J(f)=|f'(a)|.}$Він є неперервним і тому існує функція ${\displaystyle f_{0}\in S_{1}}$на якій цей функціонал досягає максимуму, тобто така, що для всіх ${\displaystyle f\in S_{1}}$ виконується нерівність ${\displaystyle f'(z)\leqslant f_{0}(z).}$

Оскільки функція ${\displaystyle f_{0}\in S_{1},}$ то вона конформно відображає ${\displaystyle D\,}$ в одиничний круг ${\displaystyle U}$. Також ${\displaystyle f_{0}(a)=0\ }$ оскільки в іншому випадку в ${\displaystyle S_{1}\ }$ була б функція

${\displaystyle h(z)={\frac {f_{0}(z)-f_{0}(a)}{1-{\overline {f_{0}(a)}}f_{0}(z)}},}$

для котрої

${\displaystyle |h'(a)|={\frac {1}{1-|f_{0}'(a)|^{2}}}|f_{0}'(a)|>|f_{0}'(a)|,}$

що суперечить означенню функції ${\displaystyle f_{0}}$.

Нарешті, що ${\displaystyle f_{0}}$ відображає ${\displaystyle D\,}$ на весь круг ${\displaystyle U}$. Справді, нехай ${\displaystyle f_{0}}$не приймає в ${\displaystyle D\,}$деякого значення ${\displaystyle b\in U}$. Оскільки ${\displaystyle f_{0}(a)=0}$, то ${\displaystyle b\neq 0}$. Але і значення ${\displaystyle b_{1}=1/{\bar {b}}}$ не приймається цією функцією в ${\displaystyle D\,}$ (оскільки ${\displaystyle |b_{1}|>1}$), і, отже, по теоремі про монодромію в ${\displaystyle D\,}$можна виділити однозначну гілку кореня

${\displaystyle \psi (z)={\sqrt {\frac {f_{0}(z)-b}{1-{\bar {b}}f_{0}(z)}}}}$

яка належить ${\displaystyle S\,}$. Але тоді ${\displaystyle S\,}$ належить і функція

${\displaystyle k(z)={\frac {\psi (z)-\psi (a)}{1-{\overline {\psi (a)}}\psi (z)}},}$

для котрої

${\displaystyle |k'(a)|={\frac {1+|b|}{2{\sqrt {|b|}}}}|f_{0}'(a)|.}$

Але ${\displaystyle 1+|b|>2{\sqrt {b}}}$ бо ${\displaystyle |b|<1}$, тобто ${\displaystyle k\in S_{1}}$ і ${\displaystyle |k'(a)|>|f_{0}'(a)|,}$що суперечить означенню функції ${\displaystyle f_{0}}$.

Якщо замість області на комплексній площині розглядати область на довільній ріманової поверхні, то ми приходимо до часткового випадку теореми про уніформізацію:

для довільної однозв'язної відкритої підмножини ${\displaystyle U}$ ріманової поверхні існує бієктивне голоморфне відображення (${\displaystyle f\,}$ із множини ${\displaystyle U\,}$ на одну з множин:

• ріманову сферу;
• комплексну площину;
• одиничний круг.

Спроби узагальнити дану теорему на дійсну конформну геометрію в розмірностях вище 2, як і на комплексну геометрію в розмірностях вище 1, використовуючи поняття голоморфного відображення, до особливих успіхів не привели. Доведено, що і в тому і іншому випадку для еквівалентності областей вже недостатньо чисто топологічних умов. У будь-якому випадку, такі загальні твердження про еквівалентність областей в багатовимірних просторах науці не відомі.

• Список об'єктів, названих на честь Бернгарда Рімана
• Теорема Гурвіца
• Теорема Монтеля

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3
• John B. Conway, Functions of one complex variable II, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94460-5
• Reinhold Remmert, Classical topics in complex function theory, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98221-3

• Доведення теореми Рімана, на сайті PlanetMath