Точка Лемуана

Точка Лемуа́на трикутника — точка перетину його симедіан (чевіан, симетричних до медіан відносно відповідних бісектрис).

Точку названо на честь французького математика Еміля Лемуана (1840-1912), який вперше присвятив їй ряд досліджень.

Точку Лемуана також можна отримати як точку перетину трьох відрізків, які з'єднують середину кожної сторони з серединою відповідної їй висоти.

Також точка Лемуана є точкою перетину прямих, що з'єднують кожну вершину трикутника з точками перетину дотичних до описаного кола, проведених з двох інших вершин.

Паралелі Лемуана

Нехай є трикутник ABC з точкою Лемуана K. Відрізки прямих, що проходять через K паралельно до сторін трикутника, називаються паралелями Лемуана. Шість точок перетину цих відрізків та сторін трикутника лежать на одному колі, яке називається першим колом Лемуана.

Властивості

Сума квадратів відстаней від точки на площині до сторін трикутника мінімальна, коли ця точка є точкою Лемуана.
Відстані від точки Лемуана до сторін трикутника пропорційні довжинам сторін.
Точка Лемуана є точкою перетину медіан трикутника, утвореного проєкціями точки Лемуана на сторони. Більше того, така точка є єдиною.
Точка Лемуана є точкою Жергонна трикутника, утвореного дотичними до описаного кола в вершинах трикутника.
Коло, побудоване на відрізку $OK$ ( $O$ — центр описаного кола) як на діаметрі, містить точки Брокара. Це коло називається колом Брокара.
Пряма $OK$ називається віссю Брокара. Вона містить точки Аполлонія та ізогонально спряжена до гіперболи Кіперта.
Якщо симедіани продовжити до повторного перетину з описаним колом трикутника в точках $\scriptstyle A_{1},B_{1},C_{1}$ , то точка K залишиться точкою Лемуана для трикутника $\scriptstyle A_{1}B_{1}C_{1}$ .

Джерела

Weisstein, Eric W. Точка Лемуана(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.