Точка округлення

Точка округлення (сферична точка, омбілічна точка) — точка на гладкій регулярній поверхні в трьохвимірному евклідовому просторі, в якій нормальні кривизни в усіх напрямках є рівними. Еквівалентно у цій точці дві головні кривини є рівними, тобто власні значення відображення Вейнгартена (диференціалу сферичного відображення) є рівними.

Для гіперповерхонь у евклідових просторах вищих розмірностей можна дати два різних узагальнення поняття точки округлення. Згідно з одним узагальненням точкою округлення називається точка, в якій усі головні кривини (власні значення відображення Вейнгартена) є рівними, згідно з другим вимагається рівність лише принаймні якихось двох головних кривин.

Точки округлення і лінії кривини поверхні навколо них. У випадку загального положення існують три топологічно різні типи, які називають «лимон», «зірка» і «монстар»[1]

Приклади

Точки округлення на Триосному еліпсоїді
  • Усі точки сфери (чи гіперсфери для вищих розмірностей) еліптичних точок округлення.
  • Усі точки площини є плоскими точками округлення.
  • Триосний еліпсоїд (з попарно різними осями) має чотири точки округлення, всі вони еліптичні і відносяться до типу «лимон».
  • Мавпяче сідло (тобто поверхня задана рівнянням ) має ізольовану плоску точку округлення на початку координат.

Властивості

У точці округлення:

  • головні кривизни поверхні є рівними.
  • Перша квадратична форма і друга квадратична форма поверхні є пропорційними.
  • Будь-який дотичний напрямок є головним напрямком.
  • Дотичний параболоїд є параболоїдом обертання.
  • Індикатриса Дюпена є колом.
  • Мережа ліній кривини (тобто ліній, в кожній точці яких дотичний напрям є головним напрямом поверхні), має особливість[1].
  • Будь-яка точка округлення є або еліптичною точкою поверхні (якщо головні кривини не рівні нулю, і отже, гаусова кривина поверхні в даній точці є додатною), або плоскою точкою округлення (якщо головні кривини дорівнюють нулю і отже гаусова кривина і середня кривина поверхні в даній точці дорівнюють нулю). У першому випадку в малому околі точки округлення поверхня схожа на сферу, а в другому — на площину.
  • Множина точок округлення на поверхні є замкнутою. Це випливає з того, що гаусова і середня кривини H і K є гладкими функціями на поверхні і функції головних кривин задаються як Тоді p є точкою округлення якщо тобто Іншими словами множина точок округлення є замкнутою множиною
  • Якщо всі точки зв'язаної гіперповерхні M у евклідовому просторі є точками округлення (у розумінні, що всі головні кривини є рівними) то гіперповерхня є відкритою підмножиною гіперплощини чи гіперсфери.
Нехай є довільною точкою і  — довільним дотичним вектором у цій точці. Нехай X і Y є гладкими векторними полями такими, що в точці p поле X є рівним а поле Y є рівним деякому лінійно незалежному вектору
Оскільки всі точки на M є точками округлення то відображення Вейнгартена задовольняє рівність де I є тотожним відображенням дотичного простору у кожній точці, а f — гладкою функцією. Із рівнянь Кодацці — Майнарді випливає рівність:
оскільки для гіперповерхонь евклідового простору стандартні зв'язності задовольняють рівність У точці p, зважаючи на лінійну незалежність і звідси маємо Оскільки точка p і вектор є довільними і M є зв'язаним простором, то f є константою.
Нехай Якщо k = 0, то і нормаль до поверхні N є сталою, тобто поверхня є відкритою підмножиною гіперсфери. В іншому випадку можливо після зміни напрямну нормалі можна вважати k > 0. Нехай r = (-1)/k і розглянемо відображення задане як Тоді диференціал цього відображення у точці p для дотичного вектора маємо Тобто диференціали у кожній точці є нульовими, а тому відображення g є константою. Якщо позначити то всі точки M знаходяться на відстані -1/k від точки c, тобто M є відкритою підмножиною гіперсфери.

Гіпотеза Каратеодорі

Згідно з гіпотезою Каратеодорі на будь-якій достатньо гладкій замкнутій випуклій поверхні M в тривимірному евклідовому просторі існують як мінімум дві точки округлення. Ця гіпотеза була згодом доведена при додатковому припущенні, що поверхня M — аналітична[2][3].

Примітки

Див. також

Література

  • Hicks, Noel (1965). Notes on Differential Geometry. Van Nostrand, Princeton, N. J.,. ISBN 0442034105. (англ.)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.