Асимптотична крива

Точки, в яких гаусова кривина ${\displaystyle K<0}$, називаються гіперболічними (прикладом поверхні всі точки якої — гіперболічні, є однопорожнинний гіперболоїд або гіперболічний параболоїд); точки, в яких гаусова кривина ${\displaystyle K>0}$, називаються еліптичними (прикладом поверхні всі точки якої — еліптичні є еліпсоїд або двопорожнинний гіперболоїд); точки, в яких гаусова кривина ${\displaystyle K=0}$, але середня кривина ${\displaystyle H\neq 0}$, називаються параболічними (прикладом поверхні всі точки якої — параболічні, є конус або циліндр).

Параболічні точки, як правило, утворюють криву, що розділяє поверхню на еліптичну і гіперболічну області.

В області еліптичних точок асимптотичних ліній немає.

В області гіперболічних точок є рівно дві групи асимптотичних ліній, що складають так звану асимптотичну мережу: через кожну гіперболічну точку проходить по одній лінії кожної групи, кут їх перетину відмінний від нуля.

В параболічних точках асимптотичні лінії мають, як правило, касп і мають вигляд напівкубічної параболи, що лежить (за виключенням самої точки) в гіперболічній області, що примикає до параболічної лінії.

• Стична площина асимптотичної кривої ${\displaystyle \gamma }$ (там, де вона існує) збігається з дотичною площиною до поверхні F в тій же точці.
• Квадрат скруту асимптотичної кривої (там, де його визначено) дорівнює модулю гаусової кривини поверхні ${\displaystyle F}$ (теорема Бельтрамі — Еннепера).
• Прямолінійний відрізок на поверхні ${\displaystyle F}$ завжди є асимптотичною кривою. Зокрема асимптотичними кривими є прямолінійні твірні поверхні.
• На поверхнях сталої від'ємної кривини асимптотична мережа є мережею Чебишева, зокрема площа чотирикутника, утвореного асимптотичними кривими, пропорційна перевищенню суми його внутрішніх кутів над ${\displaystyle 2\pi }$ (формула Хацидакіса).
• На мінімальний поверхні асимптотична мережа є ортогональною мережею.
• При проективному перетворенні ${\displaystyle \pi }$ простору асимптотичні криві поверхні ${\displaystyle F}$ переходять в асимптотичні криві поверхні ${\displaystyle \pi (F)}$.

Нехай в евклідовому просторі з координатами ${\displaystyle x,y,z}$ і метрикою ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$ поверхня задана у вигляді графіка функції ${\displaystyle z=f(x,y)}$. Тоді в координатах ${\displaystyle x,y}$ асимптотичні лінії поверхні задаються диференціальним рівнянням ${\displaystyle f_{yy}\,dy^{2}+2f_{xy}\,dxdy+f_{xx}\,dx^{2}=0.}$

Ввівши позначення ${\displaystyle p=dy/dx}$, його можна переписати у вигляді ${\displaystyle f_{yy}p^{2}+2f_{xy}p+f_{xx}=0.}$

Дискримінант ${\displaystyle \Delta =f_{xy}^{2}-f_{xx}f_{yy}}$ який стоїть у лівій частині квадратного тричлена (відносно змінної ${\displaystyle p}$) збігається з гессіаном функції ${\displaystyle f(x,y)}$, взятим із оберненим знаком, і рівняння ${\displaystyle \Delta =0}$ задає на площині ${\displaystyle (x,y)}$ криву, що складається із параболічних точок поверхні (за умови, якщо один із коефіцієнтів ${\displaystyle f_{xx}}$ або ${\displaystyle f_{yy}}$ відмінний від нуля), яка так само є дискримінантою кривої даного диференціального рівняння, не розв'язного щодо похідної. У типовому випадку майже у всіх параболічних точках це рівняння має нормальну форму Чибраріо, виняток становлять лише точки, що лежать на дискримінантній кривій дискретно, в них нормальна форма рівняння більш складна. Ще більш складну нормальну форму рівняння асимптотичних ліній має в точках, де всі три коефіцієнти ${\displaystyle f_{xx}}$, ${\displaystyle f_{xy}}$, ${\displaystyle f_{yy}}$ перетворюються в нуль одночасно, — це так звані плоскі омбіліки, в яких ${\displaystyle H=K=0}$, тобто всі нормальні перетини поверхні мають нульову кривину.

• Всі точки однопорожнинного гіперболоїда ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=1}$ належать до гіперболічного типу. Рівняння асимптотичних ліній в цьому випадку приймає вигляд ${\displaystyle (x^{2}-1)p^{2}-2xyp+y^{2}-1=0}$, де ${\displaystyle p=dy/dx}$. Як легко перевірити, загальний розв'язок цього рівняння задається формулою ${\displaystyle y=ax+b}$, де параметри ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ задовольняють співвідношення ${\displaystyle b^{2}-a^{2}=1}$. Таким чином ми отримуємо дві сім'ї (що відповідають різним знакам ${\displaystyle \pm }$ у формулі ${\displaystyle b=\pm {\sqrt {a^{2}+1}}}$) асимптотичних ліній однопорожнинного гіперболоїда, що збігаються з його прямолінійними твірними.

• Асимптотичні лінії конуса ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$ так само збігаються з його прямолінійними твірними. Так як всі точки конуса параболічні, то ми маємо одну сім'ю асимптотичних ліній.

• У випадку поверхні заданої рівнянням ${\displaystyle z=y^{2}+x^{2}y+ax^{4}}$, маємо ${\displaystyle \Delta =(1-6a)x^{2}-y}$. Лінія параболічних точок (${\displaystyle y=(1-6a)x^{2}}$) ділить поверхню на еліптичну (${\displaystyle y>(1-6a)x^{2}}$) і гіперболічну (${\displaystyle y<(1-6a)x^{2}}$) області. В останній розташовані дві сім'ї асимптотичних ліній. У всіх параболічних точках, за винятком початку координат (${\displaystyle x=y=0}$), рівняння асимптотичних ліній має нормальну форму Чибраріо, отже асимптотичні лінії в околі цих точок мають вигляд напівкубічних парабол. На початку координат мережа асимптотичних ліній має більш складну особливість, характер якої залежить від параметра ${\displaystyle a}$.

• Асимптотичними кривими на торі, заданому параметрично у вигляді:

  ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(\phi ,\psi )=&(R+r\cos \phi )\cos \psi \\y(\phi ,\psi )=&(R+r\cos \phi )\sin \psi \\z(\phi ,\psi )=&r\sin \phi \\\end{matrix}}\right.\qquad \phi ,\psi \in [0,2\pi ),}$

є два паралелі ${\displaystyle z=\pm r}$, що розділяють гіперболічні і еліптичні області і повністю складаються з параболічних точок .

• Асимптотичною кривою є ребро повернення на псевдосфері.

• Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — 304 с. — ISBN 5-7768-0388-8.
• Погорєлов О. В. Диференціальна геометрія. — М. : Наука, 1974. — 184 с. — ISBN 5-93972-068-4.
• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии.
• Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии.
• Фиников С. П. Теория поверхностей.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии.
• Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.