Відображення Гауса

Нехай S — регулярна диференційовна орієнтовна поверхня. В кожній точці p цієї поверхні існує два одиничні вектори, що є ортогональними до дотичної поверхні у точці p. Вибір одного з цих векторів задає орієнтацію. Оскільки поверхня є орієнтовною, то можна однозначно зробити вибір одиничних нормалей у кожній точці так, що в результаті одержується неперервне нормальне векторне поле. Якщо для точки ${\displaystyle p\in S}$ позначити відповідний нормальний вектор як N(p), то відображення:

${\displaystyle \mathrm {N} :S\to \mathbb {S} ^{2}\quad p\to \mathrm {N} (p)}$

називається відображенням Гауса.

Відображення Гауса є диференційовним і його диференціал ${\displaystyle d_{p}\mathrm {N} }$ у деякій точці p називається відображенням Вейнгартена.

Для відображення Вейнгартена дотична площина ${\displaystyle T_{\mathrm {N} (p)}\mathbb {S} ^{2}}$ є паралельною до дотичної площини ${\displaystyle T_{p}S.}$ Це легко можна побачити у локальних координатах ${\displaystyle S=S(u,v)}$ у деякому околі точки p. Із цього запису отримується параметричний запис образу при відображенні Гауса N(u,v). Продиференціювавши рівність (N(u,v),N(u,v)) = 1 по u і v, отримаємо ${\displaystyle 2\left({\mathrm {d} \mathrm {N} \over \mathrm {d} u},\mathrm {N} \right)=2\left({\mathrm {d} \mathrm {N} \over \mathrm {d} v},\mathrm {N} \right)=0}$ тобто вектори ${\displaystyle {d\mathrm {N} \over du}}$ і ${\displaystyle {\mathrm {d} \mathrm {N} \over \mathrm {d} v},}$ а отже і дотична площина є ортогональними до N. Це ж справедливо за означенням і на площині S. Оскільки площини ${\displaystyle T_{\mathrm {N} (p)}\mathbb {S} ^{2}}$ і ${\displaystyle T_{p}S}$ є ортогональними до одного вектора, то вони є паралельними.

Таким чином вектори на цих двох площинах можна ототожнити і вважати відображення Вейнгартена лінійним відображенням на ${\displaystyle T_{p}S}$.

Для орієнтовної гіперповерхні у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(або, більш загально, орієнтовного підмноговида корозмірності 1 у диференційовному многовиді) теж можна ввести нормальне одиничне диференційовне векторне поле (таких варіантів знову ж буде 2). Тоді відображення, що кожній точці ставить у відповідність нормаль у точці називається відображенням Гауса. Воно є диференційовним і його диференціал називається відображенням Вейнгартена.

• У локальних координатах ${\displaystyle S=S(u,v)}$ позначаючи ${\displaystyle S_{u}={\mathrm {d} S \over du},\;S_{v}={\mathrm {d} S \over dv}}$ відображення Гауса можна задати як ${\displaystyle \mathrm {N} (p)={\frac {S_{u}\times S_{v}}{|S_{u}\times S_{v}|}}.}$ Звідси очевидною є диференційовність відображення. Даний запис можна подати для довільної регулярної поверхні тому для кожної такої поверхні відображення Гауса існує локально. Але глобально його можна ввести лише для орієнтовних поверхонь.
• Для відображення Вейнгартена ${\displaystyle \mathrm {d} _{p}\mathrm {N} (S_{u})=\mathrm {N} _{u},\;\mathrm {d} _{p}\mathrm {N} (S_{v})=\mathrm {N} _{v}.}$
• Диференціал ${\displaystyle \mathrm {d} _{p}\mathrm {N} }$ (якщо його, як вище, розглядати як лінійне відображення на ${\displaystyle T_{p}S}$) є самоспряженим на ${\displaystyle T_{p}S}$ щодо скалярного добутку успадкованого із ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Згідно попередньої властивості достатньо довести, що ${\displaystyle (\mathrm {N} _{u},S_{v})=(S_{u},\mathrm {N} _{v}).}$ Для цього слід продиференціювати рівності ${\displaystyle (\mathrm {N} ,S_{u})=0}$ і ${\displaystyle (\mathrm {N} ,S_{v})=0}$ по v і u відповідно. Тоді ${\displaystyle (\mathrm {N} _{v},S_{u})+(\mathrm {N} ,S_{uv})=0,\;\;(\mathrm {N} _{u},S_{v})+(\mathrm {N} ,S_{vu})=0}$ і тому ${\displaystyle (\mathrm {N} _{v},S_{u})=-(\mathrm {N} ,S_{uv})=(\mathrm {N} _{u},S_{v}).}$

• За допомогою відображення Вейнгартена вводиться друга фундаментальна квадратична форма ${\displaystyle II(X)=-(d_{p}\mathrm {N} (X),X).}$ Згідно теореми Меньє значення другої фундаментальної форми на одиничному дотичному векторі X є рівним кривині нормального перетину поверхні S визначеному як перетин S і площини заданої векторами N(p) і X.
• Матриця відображення Вейнгартена у базисі ${\displaystyle S_{u},S_{v}}$ одержується транспонуванням матриці дериваційних формул Вейнгартена . А саме якщо ${\displaystyle d_{p}\mathrm {N} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}}$ то ${\displaystyle a_{11}={\frac {FM-GL}{EG-F^{2}}},\ a_{21}={\frac {FL-EM}{EG-F^{2}}},\ a_{12}={\frac {FN-GM}{EG-F^{2}}},\ a_{22}={\frac {FM-EN}{EG-F^{2}}}.}$

У попередніх формулах ${\displaystyle E=(S_{u},S_{u}),\ F=(S_{u},S_{v}),\ G=(S_{v},S_{v}),\ }$а також ${\displaystyle L=-(\mathrm {d} \mathrm {N} (S_{u}),S_{u})=(\mathrm {N} ,S_{uu}),\ M=-(\mathrm {d} \mathrm {N} (S_{u}),S_{v})=(\mathrm {N} ,S_{uv}),\ N=-(\mathrm {d} \mathrm {N} (S_{v}),S_{v})=(\mathrm {N} ,S_{vv})}$ і всі скалярні добутки розглядаються на дотичній площині у точці p.

• Якобіан відображення Гауса дорівнює гаусовій кривині поверхні в даній точці.
• Більш абстрактно можна дати означення відображення Вейнгартена через коваріантні похідні (афінні зв'язності). Дані означення мають зміст для евклідового простору будь-якої розмірності і є основою для подальших узагальнень зокрема у рімановій геометрії. У евклідовому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ коваріантна похідна для диференційовних векторних полів X, Y в околі точки p задається як ${\displaystyle {\bar {\nabla }}_{X}Y(p)=(Xy_{1},\ldots ,Xy_{n})(p),}$ де у стандартному базисі друге векторне поле через координати записується як ${\displaystyle Y=(y_{1},\ldots ,y_{n}),}$ а ${\displaystyle Xy_{i}}$ позначає дію векторного поля X як диференціального оператора на функції ${\displaystyle y_{i}.}$ Значення ${\displaystyle {\bar {\nabla }}_{X}Y}$ в деякій точці p залежить лише від значення векторного поля X у цій точці, а також значення векторного поля Y на деякій прямій, що проходить через точку p і дотичний вектор якої в цій точці рівний X(p). Якщо ${\displaystyle \alpha (t)\in \mathbb {R} ^{n},\;\alpha (0)=p,\;\alpha '(0)=X(p)}$ — така крива то позначивши ${\displaystyle Y(t)=(y_{1}(t),\ldots ,y_{n}(t))=Y(\alpha (t))}$ отримаємо ${\displaystyle {\bar {\nabla }}_{X}Y(p)=(y_{1}'(0),\ldots ,y_{n}'(0))(p).}$ Звідси при тих же позначеннях для гіперповерхні у евклідовому просторі і нормального поля також випливає, що ${\displaystyle \mathrm {d} _{p}\mathrm {N} (X)=\mathrm {N} (\alpha (t))_{t=0}'={\bar {\nabla }}_{X}\mathrm {N} .}$

Таким чином для доведення властивостей відображення Вейнгартена також можна використовувати властивості коваріантних похідних. Для цього у випадку гіперповерхонь важливим є той факт, що нормальні і дотичні векторні поля N, X на околі точки p на гіперповерхні можна продовжити до векторних полів ${\displaystyle {\bar {\mathrm {N} }},{\bar {X}}}$ в околі цієї точки у евклідовому просторі.

Зокрема для доведення самоспряженості

${\displaystyle ({\bar {\nabla }}_{X}\mathrm {N} ,Y)_{p}-(X,{\bar {\nabla }}_{Y}\mathrm {N} )_{p}=({\bar {\nabla }}_{\bar {X}}{\bar {\mathrm {N} }},{\bar {Y}})_{p}-({\bar {X}},{\bar {\nabla }}_{\bar {Y}}{\bar {\mathrm {N} }})_{p}=}$

${\displaystyle {\bar {X}}_{p}({\bar {\mathrm {N} }},{\bar {Y}})-({\bar {N}},{\bar {\nabla }}_{\bar {X}}{\bar {Y}})_{p}-{\bar {Y}}_{p}({\bar {\mathrm {N} }},{\bar {X}})+({\bar {\mathrm {N} }},{\bar {\nabla }}_{\bar {Y}}{\bar {X}})_{p}=}$

${\displaystyle -({\bar {\mathrm {N} }},{\bar {\nabla }}_{\bar {X}}{\bar {Y}})_{p}+({\bar {\mathrm {N} }},{\bar {\nabla }}_{\bar {Y}}{\bar {X}})_{p}=({\bar {\mathrm {N} }},[{\bar {Y}},{\bar {X}}])_{p}=(\mathrm {N} _{p},[Y_{p},X_{p}])=0.}$

• Для площини заданої рівнянням ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$відображення Гауса є константою рівною ${\displaystyle N={\frac {(a,b,c)}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.}$ Відповідно відображення Вейнгартена є нульовим лінійним відображенням.
• Для одиничної сфери ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ у точці ${\displaystyle (x,y,z)}$ одиничними нормальними векторами є ${\displaystyle (x,y,z)}$ і ${\displaystyle -(x,y,z).}$ Зазвичай обирається обернений нормальний вектор, тоді ${\displaystyle \mathrm {N} (x,y,z)=(-x,-y,-z).}$ Для відображення Вейнгартена ${\displaystyle \mathrm {d} \mathrm {N} (x'(t),y'(t),z'(t))=\mathrm {N} '(t)=(-x'(t),-y'(t),-z'(t)),}$ для будь-якої кривої ${\displaystyle (x(t),y(t),z(t))}$ і ${\displaystyle \mathrm {N} (t)=\mathrm {N} (x(t),y(t),z(t))}$на одиничній сфері. Тоді ${\displaystyle \mathrm {d} _{p}\mathbb {S} ^{2}(v)=-v,\;v\in T_{p}\mathbb {S} ^{2}.}$
• Для циліндра ${\displaystyle C=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,|\,x^{2}+z^{2}=1\}}$ у довільній точці дотична площина задається векторами v паралельним осі z і w, що є дотичним до кола ${\displaystyle \{(x,y,z_{0})\in \mathbb {R} ^{3}\,|\,x^{2}+z^{2}=1\}}$, що проходить через цю точку. Подібно до попереднього прикладу ${\displaystyle \mathrm {N} (x,y,z)=(-x,-y,0)}$ і для введених базисних векторів дотичної площини ${\displaystyle \mathrm {d} _{p}C(v)=0,\;\mathrm {d} _{p}C(w)=-w.}$

• Дериваційні формули Вейнгартена
• Друга квадратична форма
• Поверхня
• Теорема Меньє

• Carmo, Manfredo Perdigão do (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212589-7.
• Hicks, Noel (1965). Notes on Differential Geometry. Van Nostrand, Princeton, N. J. ISBN 0442034105.
• Kuhnel, Wolfgang (2005). Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds (вид. 2nd). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3988-1.