Фазовий інтеграл

В загальному випадку хвильова функція в квантовій механіці може бути виражена через «дію» (ейконал) у вигляді:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\exp \left({\frac {i}{\hbar }}S(\mathbf {r} ,t)\right)}$,

де функція дії виражається через функцію Лагранжа у вигляді:

${\displaystyle S(\mathbf {r} ,t)=\int _{0}^{t}L(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t^{'})\,dt^{'}}$

Тоді фаза хвильової функції може бути записана у формі:

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\hbar }}S(\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\hbar }}\int _{0}^{t}L(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t^{'})\,dt^{'}}$.

Виділимо довільне значення змінної часу ${\displaystyle t_{0}}$ з якого ми розпочинаємо контроль фази. Оскільки нас не цікавить минула історія (тобто все, що було при ${\displaystyle t<t_{0}}$), а тільки те, що буде при ${\displaystyle t>t_{0}}$, тому «різницю фаз» можна визначити як:

${\displaystyle \Delta \phi (\mathbf {r} ,t>t_{0})=\phi (\mathbf {r} ,t)-\phi (\mathbf {r} ,t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}L(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t^{'})\,dt^{'}}$.

Для подальшого розгладу необхідно використати такі припущення:

Припущення 1. Функція Лагранжа явно не залежить від часу:

${\displaystyle L(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)=L(\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$.

Припущення 2. Оскільки ми досліджуємо вплив певного поля на зміну фази, тому функцію Лагранжа слід розділити на дві частини. Одна не залежить від контрольного параметра (в даному випадку — магнітного поля), а друга залежить:

${\displaystyle L(\mathbf {r} ,\mathbf {v} )=L_{0}(\mathbf {r} ,\mathbf {v} )+L_{H}(\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$.

Очевидно, що у випадку магнітного поля частина функції Лагранжа має вигляд:

${\displaystyle L_{H}(\mathbf {r} ,\mathbf {v} )={\frac {e}{c}}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} )}$.

Явний вигляд першої частини функції Лагранжа нас не цікавить, оскільки вона не впливає на зміну фази:

${\displaystyle \Delta \phi (\mathbf {r} ,t>t_{0})={\frac {1}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}L(\mathbf {r} ,\mathbf {v} )\,dt^{'}=0}$.

Тому залишається тільки

${\displaystyle \Delta \phi (\mathbf {r} ,t>t_{0})={\frac {1}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}L_{H}(\mathbf {r} ,\mathbf {v} )\,dt^{'}=0}$.

Враховуючи те, що швидкість зв'язана з диференціалами співвідношенням

${\displaystyle \mathbf {v} dt=d\mathbf {l} }$,

знаходимо різницю фаз у вигляді:

${\displaystyle \Delta \phi _{H}={\frac {1}{\hbar }}\int _{S}^{}L_{H}(\mathbf {r} \,d\mathbf {l} )={\frac {e}{\hbar c}}\int _{S}^{}(\mathbf {A} \,d\mathbf {l} )}$,

що і було вперше передбачене Фейнманом.

Для практики цікавішим є випадок не інтегральної зміни фази, коли враховується абсолютне значення векторного потенціалу ${\displaystyle A}$ (а значить і магнітного поля ${\displaystyle B}$), а диференціальної зміни фази. Справа в тому, що у першому випадку при великих значеннях амплітути потенціалу ${\displaystyle A}$ ми будемо також мати і великі значення зміни фази, що не є таким цікавим, як диференціальний випадок, коли фаза змінюється на величину близьку до ${\displaystyle 2\pi }$. Наприклад, в інтеренферометрії важливішим є не абсолютне значення параметру, а диференційне, що власне і приводить до цього явища. В квантових антиточках Голдмана також є важливішим диференційне значення магнітного поля ${\displaystyle \Delta B}$, при вимірюванні осциляцій провідності. Тому виникає тривіальна задача знаходження диференціальної зміни фази ${\displaystyle \delta (\Delta \phi _{H})}$ при наявності періодичності магнітного поля з періодом ${\displaystyle \Delta B}$ (а значить і ${\displaystyle \Delta A}$). В цьому випадку загальний фазовий інтеграл Фейнмана можна переписати у вигляді:

${\displaystyle \delta (\Delta \phi _{H})={\frac {e}{\hbar c}}\delta {\int _{S}^{}\mathbf {A} ,d\mathbf {l} }={\frac {e}{\hbar c}}\Delta A\cdot \Delta S,}$

де ${\displaystyle \Delta S=2\pi \Delta l_{B}-}$ довжина контуру обходу, обумовленого періодичністю ${\displaystyle \Delta B}$, а ${\displaystyle \Delta l_{B}={\sqrt {\frac {\hbar }{e\Delta B}}}}$ — магнітна довжина, обумовлена періодичністю ${\displaystyle \Delta B}$. Таким чином, знаходимо диференціальну зміну фаз у вигляді:

${\displaystyle \delta (\Delta \phi _{H})={\frac {2\pi }{c}}{\frac {e}{\hbar }}{\frac {\Delta A}{\sqrt {\Delta B}}}=2\pi f_{ph}}$

Звичайно нас більш цікавить безрозмірне число, або т.з. фазовий фактор обходу контуру, утвореного періодичністю магнітного поля ${\displaystyle \Delta B}$:

${\displaystyle f_{ph}={\frac {1}{2\pi }}\delta (\Delta \phi _{H})=k_{ph}{\frac {\Delta A}{\sqrt {\Delta B}}}}$,

де ${\displaystyle k_{ph}={\frac {1}{c}}{\sqrt {\frac {e}{\hbar }}}=0,13001534}$ Тл^1/2В^-1 — фазова константа, яка залежить тільки від фундаментальних констант. Основна проблема, що лишилася, полягає в тому, що на практиці досить легко вимірювати тільки магнітне поле ${\displaystyle \Delta B}$, а потенціал ${\displaystyle \Delta A}$ знаходиться тільки шляхом розрахунків при певних припущеннях.