Теорема Стокса

Розглядається гладке (неперервно диференційовне) векторне поле ${\displaystyle \mathbf {a} }$ в ${\displaystyle n}$-мірному просторі, в якому задана система координат ${\displaystyle x^{1},x^{2},\dots x^{n}}$. Якщо в цьому просторі заданий контур ${\displaystyle L}$ (замкнута крива), на який натягнуто двомірний многовид ${\displaystyle S}$, то формула Стокса пов'язує циркуляцію векторного поля при обході всього контуру з інтегралом від ротора цього поля по двомірному многовиду:

${\displaystyle (1)\qquad \oint _{L}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {l} =\iint _{S}{\text{rot}}\;\mathbf {a} \;d\sigma }$

або в координатах:

${\displaystyle (1a)\qquad \oint _{L}a_{i}dx^{i}=\iint _{S}\sum _{i<j}(\nabla _{i}a_{j}-\nabla _{j}a_{i})\;d\sigma ^{ij}}$

Окремо запишемо важливі часткові випадки цієї формули. Для випадку площини (${\displaystyle n=2}$) ця формула називається формулою Гріна, її прийнято записувати в таких історичних позначеннях (${\displaystyle S}$ — є частиною площини, обмеженою контуром):

${\displaystyle (2)\qquad \oint _{L}Pdx+Qdy=\iint _{S}({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy}$

Для фізики, особливо електродинаміки і гідродинаміки, важливою є формула Стокса в тривимірному просторі. Розглядаємо декартову систему координат ${\displaystyle Oxyz}$ з правою орієнтацією. Ротор вектора ${\displaystyle \mathbf {a} =\{a_{x},a_{y},a_{z}\}}$ можна позначати вектором з координатами:

${\displaystyle ({\text{rot}}\;\mathbf {a} )_{x}=(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {a} )_{x}=\nabla _{z}a_{y}-\nabla _{y}a_{z}=\partial _{z}a_{y}-\partial _{y}a_{z}}$

${\displaystyle ({\text{rot}}\;\mathbf {a} )_{y}=\partial _{z}a_{x}-\partial _{x}a_{z}}$

${\displaystyle ({\text{rot}}\;\mathbf {a} )_{z}=\partial _{x}a_{y}-\partial _{y}a_{x}}$

Орієнтація елементарної площинки задається одиничним вектором нормалі ${\displaystyle \mathbf {n} }$. В цьому випадку формулу (1) можна записати через інтеграл по поверхні від скалярного добутку ротора і вектора нормалі:

${\displaystyle (3)\qquad \oint _{L}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {l} =\iint _{S}({\text{rot}}\;\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} )dS}$

Також, можна записати для тривимірного випадку формулу (1a) у виді суми трьох інтегралів по проекціям контуру:

${\displaystyle (4)\qquad \oint _{L}a_{x}dx+a_{y}dy+a_{z}dz=\iint (\partial _{x}a_{y}-\partial _{y}a_{x})dxdy+\iint (\partial _{y}a_{z}-\partial _{y}a_{z})dydz+\iint (\partial _{z}a_{x}-\partial _{x}a_{z})dxdz}$

Спочатку обчислимо варіацію криволінійного інтеграла.

Розглянемо в ${\displaystyle n}$-мірному просторі криву ${\displaystyle x^{i}=x^{i}(t)}$, (параметр ${\displaystyle t}$ пробігає значення від нуля до одиниці ${\displaystyle t\in [0,1]}$), що сполучає дві точки ${\displaystyle P}$ (при ${\displaystyle t=0}$) і ${\displaystyle Q}$ (при ${\displaystyle t=1}$). Будемо розглядати інтеграл вздовж кривої як функціонал ${\displaystyle \Phi }$, що залежить від кривої (крапкою зверху позначатимемо похідну по параметру ${\displaystyle t}$):

${\displaystyle (5)\qquad \Phi =\int _{P}^{Q}a_{i}dx^{i}=\int _{0}^{1}a_{i}{\dot {x}}^{i}dt}$

Тепер розглянемо близьку криву ${\displaystyle {\tilde {x}}^{i}=x^{i}+\delta x^{i}}$, яка сполучає ті самі точки ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$. Варіація кривої ${\displaystyle \delta x^{i}=\delta x_{i}(t)}$ на кінцях перетворюється в нуль: ${\displaystyle \delta x_{i}{\big |}_{t=0}=\delta x_{i}{\big |}_{t=1}=0}$. Варіація функціоналу дорівнює:

${\displaystyle (6)\qquad \delta \Phi =\int _{0}^{1}\delta (a_{i}{\dot {x}}^{i})dt=\int _{0}^{1}\delta (a_{i}){\dot {x}}^{i}dt+\int _{0}^{1}a_{i}{d(\delta x_{i}) \over dt}dt}$

В першому інтегралі компоненти векторного поля ${\displaystyle a_{i}}$ залежать від координати точки кривої, яка варіюється (при незмінному параметрі ${\displaystyle t}$):

${\displaystyle \ a_{i}=a_{i}(x^{1}(t),x^{2}(t),\dots x^{n}(t))}$

тому варіація векторного поля дорівнює:

${\displaystyle \delta a_{i}={\partial a^{i} \over \partial x^{j}}\delta x^{j}}$

В другому інтегралі проведемо інтегрування частинами, і врахуємо, що варіація кінців нашої кривої дорівнює нулю:

${\displaystyle \int _{0}^{1}a_{i}{d(\delta x_{i}) \over dt}dt=a_{i}\delta x^{i}{\bigg |}_{0}^{1}-\int _{0}^{1}{da^{i} \over dt}\delta x^{i}dt=-\int _{0}^{1}{\partial a^{i} \over \partial x^{j}}{\dot {x}}^{j}\delta x^{i}dt}$

Зібравши ці два інтеграла до купи, одержуємо:

${\displaystyle (7)\qquad \delta \Phi =\int _{0}^{1}{\partial a^{i} \over \partial x^{j}}({\dot {x}}^{i}\delta x^{j}-{\dot {x}}^{j}\delta x^{i})dt=\int _{0}^{1}{\partial a^{i} \over \partial x^{j}}d\sigma ^{ij}}$

де введено позначення координат елементарної пощинки — антисиметричного тензора паралелограма між кривою і близькою до нею кривою:

${\displaystyle d\sigma ^{ij}=({\dot {x}}^{i}\delta x^{j}-{\dot {x}}^{j}\delta x^{i})dt=dx^{i}\delta x^{j}-dx^{j}\delta x^{i}}$

Цей паралелограм побудований на векторах ${\displaystyle dx^{i},\;\delta x^{i}}$. Дві вершини цього паралелограма (${\displaystyle x^{i}(t),\;x^{i}(t+dt)}$) лежать на оригінальній кривій. а дві інших (${\displaystyle {\tilde {x}}^{i}(t),\;{\tilde {x}}^{i}(t+dt)}$) на близькій кривій.

Оскільки тензор ${\displaystyle d\sigma ^{ij}}$ антисиметричний, то формулу (7) ми можемо записати так:

${\displaystyle (8)\qquad \delta \Phi =\int _{0}^{1}{\partial a^{i} \over \partial x^{j}}d\sigma ^{ij}=-\int _{0}^{1}{\partial a^{j} \over \partial x^{i}}d\sigma ^{ij}={1 \over 2}\int _{0}^{1}({\partial a^{i} \over \partial x^{j}}-{\partial a^{j} \over \partial x^{i}})d\sigma ^{ij}}$

Згадуючи означення коваріантної похідної (див. Диференціальна геометрія), і враховуючи симетрію символів Крістофеля по нижніх індексах, маємо:

${\displaystyle {\partial a^{i} \over \partial x^{j}}-{\partial a^{j} \over \partial x^{i}}=(\partial _{j}a_{i}-\Gamma _{ji}^{k}a_{k})-(\partial _{i}a_{j}-\Gamma _{ij}^{k}a_{k})=\nabla _{j}a_{i}-\nabla _{i}a_{j}}$

Далі, в останньому інтегралі формули (8) доданки ненульові тільки тоді, коли індекси різні (${\displaystyle i\neq j}$), причому для кожного доданка в сумі існує рівний йому за величиною доданок з переставленими індексами. Отже ми можемо залишити в сумі тільки половину доданків з неповторними парами індексів, і одночасно прибрати множник ${\displaystyle 1 \over 2}$.

${\displaystyle (9)\qquad \delta \Phi =\int _{0}^{1}\sum _{i<j}(\nabla _{j}a_{i}-\nabla _{i}a_{j})d\sigma ^{ij}}$

Тепер, маючи формулу (9) для варіації криволінійного інтеграла, уже легко доводити теорему Стокса. На замкнутому контурі ${\displaystyle L}$ візьмемо дві точки (не обов'язково різні, як це буде слідувати з подальших міркувань) ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$. Контур розіб'ється на дві різні криві ${\displaystyle L_{1}}$ i ${\displaystyle L_{2}}$, що сполучають ці точки. Виберемо напрям на обох кривих від точки ${\displaystyle P}$ до точки ${\displaystyle Q}$. Тоді символічно можна записати:

${\displaystyle L=L_{1}-L_{2}}$

і контурний інтеграл можна записати у вигляді різниці.

${\displaystyle (10)\qquad \oint _{L}a_{i}dx^{i}=\int _{L_{1}}a_{i}dx^{i}-\int _{L_{2}}a_{i}dx^{i}=\Phi (L_{1})-\Phi (L_{2})}$

Тепер розглянемо двомірний многовид ${\displaystyle S}$, натягнутий на даний контур. Ми можемо розглядати плавну деформацію кривої на ${\displaystyle S}$, почавши з кривої ${\displaystyle L_{2}}$, і закінчуючи кривою ${\displaystyle L_{1}}$ (проміжні положення деформованої кривої нагадують густий пучок меридіанів, що сполучають Північний і Південний полюси на карті Східної чи Західної півкулі Землі). Різницю функціоналів у формулі (10) ми можемо записати у вигляді інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца:

${\displaystyle (11)\qquad \Phi (L_{1})-\Phi (L_{2})=\int _{L_{2}}^{L_{1}}\delta \Phi =\iint _{S}\sum _{i<j}(\nabla _{j}a_{i}-\nabla _{i}a_{j})d\sigma ^{ij}}$

Порівняння формул (10) і (11) завершує доведення теореми Стокса.

• Потенціальне векторне поле
• Теорема Остроградського-Гауса

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1966. — Т. 3. — 656 с.(рос.)