Формула Фаа ді Бруно

Формула Фаа ді Бруно — математична тотожність, що узагальнює правило ланцюга до вищих похідних, названих на честь Франческо Фаа ді Бруно, хоча він не був першим, хто заявив або довів цю формулу. У 1800 році, понад 50 років до Фаа ді Бруно, французький математик Луї Франсуа Антуан Арбогаст виклав формулу в підручнику з обчисленням [1] вважаючи першим опублікованим посилання на цю тему. [2]

Найвідоміша форма формули Фаа ді Бруно виглядає як

{d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}},

де сума біжить по всім n-кортежам невід’ємних цілих чисел (m₁, ..., m_n), що задовольняють умові

1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.

Іноді, щоб надати йому пам’ятну картину, вона записується так, що коефіцієнти, що мають комбінаторне тлумачення, про які йде мова нижче, менш явні:

{d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.

Поєднання доданків з однаковим значенням m₁ + m₂ + ... + m_n = k і помічаючи, що m_j має дорівнювати нулю для j > n − к +1 призводить до дещо простішої формули, вираженої в термінах многочленів Белла B_n,k (x₁, ..., x_{n − k +1}):

{d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).

Комбінаторна форма

Формула має "комбінаторну" форму:

{d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left|\pi \right|)}(g(x))\cdot \prod _{B\in \pi }g^{(\left|B\right|)}(x)

де

$π$ проходить через безліч Π всіх розбиттів множини {1, ..., n },
" B ∈ $π$ " означає змінну B, що проходить через список усіх "блоків" розбиття $π$ , і
|А| позначає кардинальність множини A (так що | $π$ | - кількість блоків у розділі $π$ а |B| - розмір блоку B).

Приклад

Далі йде конкретне пояснення комбінаторної форми для $n = 4$ випадку.

{\begin{aligned}(f\circ g)''''(x)={}&f''''(g(x))g'(x)^{4}+6f'''(g(x))g''(x)g'(x)^{2}\\[8pt]&{}+\;3f''(g(x))g''(x)^{2}+4f''(g(x))g'''(x)g'(x)\\[8pt]&{}+\;f'(g(x))g''''(x).\end{aligned}}

Шаблон:

{\begin{array}{cccccc}g'(x)^{4}&&\leftrightarrow &&1+1+1+1&&\leftrightarrow &&f''''(g(x))&&\leftrightarrow &&1\\[12pt]g''(x)g'(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+1+1&&\leftrightarrow &&f'''(g(x))&&\leftrightarrow &&6\\[12pt]g''(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+2&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&3\\[12pt]g'''(x)g'(x)&&\leftrightarrow &&3+1&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&4\\[12pt]g''''(x)&&\leftrightarrow &&4&&\leftrightarrow &&f'(g(x))&&\leftrightarrow &&1\end{array}}

Фактор $g''(x)g'(x)^{2}$ відповідає розбиттю 2 + 1 + 1 цілого числа 4 очевидним чином. Фактор $f'''(g(x))$ що йде з нею, відповідає тому, що в цьому розділі є три суми. Коефіцієнт 6, що відповідає цим факторам, відповідає тому, що існує рівно шість розбиттів множини з чотирьох членів, які розбивають його на одну частину розміром 2 та дві частини розміром 1.

Аналогічно фактор $g''(x)^{2}$ у третьому рядку відповідає розділ 2 + 2 цілого числа 4, (4, оскільки ми знаходимо четверту похідну), тоді як $f''(g(x))$ відповідає тому, що існує дві суми (2 + 2) у тому розділі. Коефіцієнт 3 відповідає тому, що є ${\tfrac {1}{2}}{\tbinom {4}{2}}=3$ способи розподілу 4 об'єктів на групи 2. Це ж поняття стосується і інших.

Схема для запам'ятовування:

{\begin{aligned}&{\frac {D^{1}(f\circ {}g)}{1!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}\\[8pt]&{\frac {D^{2}(f\circ g)}{2!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{2!}}\\[8pt]&{\frac {D^{3}(f\circ g)}{3!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(3)}}{3!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}{\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(3)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{3!}}\\[8pt]&{\frac {D^{4}(f\circ g)}{4!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(4)}}{4!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right)\left({\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}{\frac {\frac {g^{(3)}}{3!}}{1!}}+{\frac {{\frac {g^{(2)}}{2!}}{\frac {g^{(2)}}{2!}}}{2!}}\right)&{}+\left(f^{(3)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{2!}}{\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(4)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{4!}}\end{aligned}}

Комбінаторика коефіцієнтів Фаа ді Бруно

Ці коефіцієнти Фаа ді Бруно для розбиттів мають "замкнену форму". Кількість робиттів множини розміром n, що відповідає розбиттю числа

\displaystyle n=\underbrace {1+\cdots +1} _{m_{1}}\,+\,\underbrace {2+\cdots +2} _{m_{2}}\,+\,\underbrace {3+\cdots +3} _{m_{3}}+\cdots

цілого числа n дорівнює

{\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,m_{3}!\,\cdots 1!^{m_{1}}\,2!^{m_{2}}\,3!^{m_{3}}\,\cdots }}.

Ці коефіцієнти виникають і в поліномах Белла, які мають відношення до дослідження кумулянтів.

Варіації

Версія з багатьма змінними

Нехай y = g (x₁, ..., x_n). Тоді виконується наступна ідентичність незалежно від того, чи є всі n змінних різними, або всі є однаковими, або ж розділені на кілька розрізнених класів нерозрізнювальних змінних (якщо це здається неясним, дивись зрозумілий приклад нижче): [3]

{\partial ^{n} \over \partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}f(y)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left|\pi \right|)}(y)\cdot \prod _{B\in \pi }{\partial ^{\left|B\right|}y \over \prod _{j\in B}\partial x_{j}}

де (як вище)

$π$ пробігає по всій множині Π всіх розбиттів множини {1, ..., n },
"B ∈ $π$ " означає змінну B, що проходить через список усіх "блоків" розділу $π$ , і
|А| позначає кардинальність множини A (так що | $π$ | - кількість блоків у розділі $π$ а |B| - розмір блоку B ).

Більш загальні версії стосуються випадків, коли всі функції мають значення векторного та навіть банахового простору. У цьому випадку потрібно розглянути похідну Фреше або похідну Гато .

Приклад

П'ять членів у наступному виразі очевидним чином відповідають п'яти розділам множини {1, 2, 3}, і в кожному випадку порядок похідної f - кількість частин у розділі:

{\begin{aligned}{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}f(y)={}&f'(y){\partial ^{3}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\\[10pt]&{}+f''(y)\left({\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\right)\\[10pt]&{}+f'''(y){\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial y \over \partial x_{3}}.\end{aligned}}

Якщо три змінні не відрізняються одна від одної, то три з п'яти вищезазначених доданків також не відрізняються один від одного, і тоді ми маємо класичну формулу для однієї змінної.

Офіційна версія серії живлення

Припустимо $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}x^{n}$ і $g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n}}x^{n}$ є формальними степеневими рядами та $b_{0}=0$ .

Потім композиція $f\circ g$ знову формальний силовий ряд,

f(g(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{c_{n}}x^{n},

де c₀ = a_0, а інший коефіцієнт c_n для n ≥ 1 можна виразити у вигляді суми за композиціями n або як еквівалентної суми зарозбиттями n:

c_{n}=\sum _{\mathbf {i} \in {\mathcal {C}}_{n}}a_{k}b_{i_{1}}b_{i_{2}}\cdots b_{i_{k}},

де

{\mathcal {C}}_{n}=\{(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k})\,:\ 1\leq k\leq n,\ i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{k}=n\}

набір композицій n з k, що позначає кількість деталей,

або

c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\sum _{\mathbf {\pi } \in {\mathcal {P}}_{n,k}}{\binom {k}{\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{n}}}b_{1}^{\pi _{1}}b_{2}^{\pi _{2}}\cdots b_{n}^{\pi _{n}},

де

{\mathcal {P}}_{n,k}=\{(\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n})\,:\ \pi _{1}+\pi _{2}+\cdots +\pi _{n}=k,\ \pi _{1}\cdot 1+\pi _{2}\cdot 2+\cdots +\pi _{n}\cdot n=n\}

- це набір розділів n на k частин у формі частоти частин.

Перша форма отримується вибором коефіцієнта xⁿ в $(b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots )^{k}$ "шляхом огляду", а друга форма потім отримується шляхом збирання подібних доданків або, альтернативно, шляхом застосування поліноміальної теореми.

Особливий випадок f (x) = e^x, g (x) = ∑_{n ≥ 1} a_n/n ! xⁿ дає експоненціальну формулу . Особливий випадок f (x) = 1/(1− x), g(x) = ∑_n≥1(-a_n) xⁿ дає вираз для оберненого формального ряду степеней ∑_{n ≥ 0} a_n xⁿ у випадку a₀ = 1.

Стенлі [4] надає версію для експоненціальних силових рядів. Для формального степеневого ряду

f(x)=\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n},

маємо n-похідну у 0:

f^{(n)}(0)=a_{n}.

Це не слід тлумачити як значення функції, оскільки цей ряд суто формальні; у цьому контексті немає такого поняття, як збіжність чи розбіжність.

g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n!}}x^{n}

і

f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}

і

g(f(x))=h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n!}}x^{n},

тоді коефіцієнт c_n (що є n-тою похідною від h, взята у точці 0, якщо ми маємо справу з збіжними рядами, а не формальними рядами потужності) задається

c_{n}=\sum _{\pi =\left\{B_{1},\ldots ,B_{k}\right\}}a_{\left|B_{1}\right|}\cdots a_{\left|B_{k}\right|}b_{k}

де $π$ проходить через безліч усіх розділів множини {1, ..., n} і B₁, . . ., B_k - блоки розділу $π$ , та | B_j | - кількість членів j-го блоку, для j = 1, ..., к .

Цей варіант формули особливо добре підходить для цілей комбінаторики .

Ми також можемо записати враховуючи наведенні вище позначення

g(f(x))=b_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\ldots ,a_{n-k+1})}{n!}}x^{n},

де B_n,k (a ₁, ..., a_{n − k +1})- поліноми Белла .

Особливий випадок

Якщо f (x) = e^x, то всі похідні f є однаковими і є фактором, спільним для кожного члена. У випадку, коли g ( x ) є твірною функцією кумулянтів, тоді f (g (x)) - є твірною функцією моментів, а многочлен у різних похідних g - це многочлен, який виражає моменти як функції кумулянтів .

Примітки

(Arbogast, 1800).
According to Craik, (2005, с. 120–122): see also the analysis of Arbogast's work by Johnson, (2002).
Hardy, Michael (2006). Combinatorics of Partial Derivatives. Electronic Journal of Combinatorics 13 (1): R1.
See the "compositional formula" in Chapter 5 of Stanley, Richard P. (1999). Enumerative Combinatorics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55309-4.

Список літератури

Історичні дослідження та нариси

Brigaglia, Aldo (2004). L'Opera Matematica. У Giacardi, Livia. Francesco Faà di Bruno. Ricerca scientifica insegnamento e divulgazione. Studi e fonti per la storia dell'Università di Torino (Italian) XII. Torino: Deputazione Subalpina di Storia Patria. с. 111–172.. "The mathematical work" is an essay on the mathematical activity, describing both the research and teaching activity of Francesco Faà di Bruno.
Craik, Alex D. D. (February 2005). Prehistory of Faà di Bruno's Formula. American Mathematical Monthly 112 (2): 217–234. JSTOR 30037410. MR 2121322. Zbl 1088.01008. doi:10.2307/30037410..
Johnson, Warren P. (March 2002). The Curious History of Faà di Bruno's Formula. American Mathematical Monthly 109 (3): 217–234. JSTOR 2695352. MR 1903577. Zbl 1024.01010. doi:10.2307/2695352..

Науково-дослідні роботи

Arbogast, L. F. A. (1800). Du calcul des derivations [On the calculus of derivatives] (French). Strasbourg: Levrault. с. xxiii+404. , Повністю вільно доступні з книг Google .
Faà di Bruno, F. (1855). Sullo sviluppo delle funzioni [On the development of the functions]. Annali di Scienze Matematiche e Fisiche (Italian) 6: 479–480. LCCN 06036680. . Цілком вільно доступні з книг Google . Добре відомий документ, де Франческо Фаа ді Бруно представляє дві версії формули, яка тепер носить його ім'я, опублікована в журналі, заснованому Барнабою Тортоліні .
Faà di Bruno, F. (1857). Note sur une nouvelle formule de calcul differentiel [On a new formula of differential calculus]. The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics (French) 1: 359–360. . Цілком вільно доступні з книг Google .
Faà di Bruno, Francesco (1859). Théorie générale de l'élimination [General elimination theory] (French). Paris: Leiber et Faraguet. с. x+224. . Цілком вільно доступні з книг Google .
Фландрія, Харлі (2001) "Від Форда до Фаа", Американський математичний щомісячник 108 (6): 558–61 DOI:10.2307/2695713
Fraenkel, L. E. (1978). Formulae for high derivatives of composite functions. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 83 (2): 159–165. MR 0486377. Zbl 0388.46032. doi:10.1017/S0305004100054402. .
Krantz, Steven G.; Parks, Harold R. (2002). A Primer of Real Analytic Functions. Birkhäuser Advanced Texts - Basler Lehrbücher (вид. Second). Boston: Birkhäuser Verlag. с. xiv+205. ISBN 978-0-8176-4264-8. MR 1916029. Zbl 1015.26030. Krantz, Steven G.; Parks, Harold R. (2002). A Primer of Real Analytic Functions. Birkhäuser Advanced Texts - Basler Lehrbücher (вид. Second). Boston: Birkhäuser Verlag. с. xiv+205. ISBN 978-0-8176-4264-8. MR 1916029. Zbl 1015.26030. Krantz, Steven G.; Parks, Harold R. (2002). A Primer of Real Analytic Functions. Birkhäuser Advanced Texts - Basler Lehrbücher (вид. Second). Boston: Birkhäuser Verlag. с. xiv+205. ISBN 978-0-8176-4264-8. MR 1916029. Zbl 1015.26030.
Porteous, Ian R. (2001). Paragraph 4.3: Faà di Bruno's formula. Geometric Differentiation (вид. Second). Cambridge: Cambridge University Press. с. 83–85. ISBN 978-0-521-00264-6. MR 1871900. Zbl 1013.53001. Porteous, Ian R. (2001). Paragraph 4.3: Faà di Bruno's formula. Geometric Differentiation (вид. Second). Cambridge: Cambridge University Press. с. 83–85. ISBN 978-0-521-00264-6. MR 1871900. Zbl 1013.53001. Porteous, Ian R. (2001). Paragraph 4.3: Faà di Bruno's formula. Geometric Differentiation (вид. Second). Cambridge: Cambridge University Press. с. 83–85. ISBN 978-0-521-00264-6. MR 1871900. Zbl 1013.53001. .
T. A., (Tiburce Abadie, J. F. C.) (1850). Sur la différentiation des fonctions de fonctions [On the derivation of functions]. Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. Série 1 (French) 9: 119–125. , доступний у NUMDAM . Цей документ, згідно з Johnson, (2002) є одним із попередників Faà di Bruno, 1855 : зауважте, що автор підписується лише як "ТА", а віднесення до JFC Тібурса Абаді знову належить Джонсону.
A., (Tiburce Abadie, J. F. C.) (1852). Sur la différentiation des fonctions de fonctions. Séries de Burmann, de Lagrange, de Wronski [On the derivation of functions. Burmann, Lagrange and Wronski series.]. Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. Série 1 (French) 11: 376–383. , доступний у NUMDAM . Цей документ, згідно з Johnson, (2002) є одним із попередників Faà di Bruno, 1855 : зауважте, що автор підписується лише як "А.", а віднесення до JFC Tiburce Abadie знову належить Джонсону.

Зовнішні посилання

Weisstein, Eric W. "Faa di Bruno's Formula". MathWorld.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] (Arbogast, 1800).

[2] According to Craik, (2005, с. 120–122): see also the analysis of Arbogast's work by Johnson, (2002).

[3] Hardy, Michael (2006). Combinatorics of Partial Derivatives. Electronic Journal of Combinatorics 13 (1): R1.

[4] See the "compositional formula" in Chapter 5 of Stanley, Richard P. (1999). Enumerative Combinatorics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55309-4.