Французька залізнична метрика

Французька залізнична метрика є незвичайним прикладом метрики.

Основні залізничні магістралі Франції в 1856 році зходилися у Парижі

Назва цієї метрики походить від дуже централізовано прокладеної (особливо раніше) залізничної мережі Франції, в якій майже всі шляхи сходилися у Парижі.

Внаслідок цього, наприклад, щоб дістатися залізницею зі Страсбурга до Ліона, треба було зробити гак в 400 км через Париж — доводилося миритися з тим, що немає прямого зв'язку.

Це спонукало одного невідомого математика визначити таку метрику: якщо є деякою множиною точок площини (міста Франції зі залізничним зв'язком через Париж) і — фіксована вибрана точка (Париж), то можна визначити на метрику таким чином:

Тут треба розуміти як відстань залізничним шляхом від міста до міста .

Ця конструкція допускає елементарне узагальнення на будь-який нормований простір.

Властивості

У невиродженому випадку, тобто коли існують неколінеарні вектори, французька залізнична метрика — найпростіший приклад метрики, яка не є породженою нормою.

Дійсно, припустимо протилежне. Нехай така норма існує. Візьмемо два неколінеарні вектори і , для яких . Тоді вектори і також неколінеарні, і виконується .

Для метрики , що породжена нормою, ця нерівність порушується:

Отже, не існує норми , яка породжує французьку залізничну метрику в тому сенсі, що .

Назви при p = 0

Для норми на метрикою французького метро називається метрика на , що визначена як[1][2].:

Іншими словами, метрика французького метро визначена як довжина найкоротшого шляху з точки x до точки y, якщо x, y і початок координат знаходяться на одній прямій, і довжина найкоротшого шляху з x до y, що проходить через початок координат, у протилежному випадку.

Метрика французького метро збігається з французькою залізничною метрикою в окремому випадку, коли Париж знаходиться у початку координат (p = 0).

Для евклідової норми метрика французького метро називається також паризькою метрикою, метрикою їжака, радикальною метрикою або посиленою метрикою SNCF[1][2][3].

Метрика британської залізниці

Для норми на (в загальному випадку на ) метрикою британської залізниці називається метрика на (на ), визначена як

,

якщо , і як 0 у протилежному випадку. Її називають також метрикою пошти (Post Office metric), метрикою гусениці і метрикою човника[1][2].

Іншими словами, у відповідності до метрики британської залізниці доводиться робити гак через початок координат завжди, якщо пункт відправлення не збігається з пунктом призначення.

У Великій Британії метрику британської залізниці (British Rail metric(англ.)) іноді називають метрикою французького метро[4].

Приклади

p x y ФЗМ[5] МФМ[6] МБЗ[7]

Див. також

Примітки

  1. Олена Деза, Мішель Марі Деза. Глава 19. Відстані на дійсній і цифровій площинах. 19.1. Метрики на дійсній площині // Енциклопедичний словник відстаней = Dictionary of Distances. — М : Наука, 2008. — С. 278. — ISBN 978-5-02-036043-3.
  2. Elena Deza, Michel Marie Deza. Encyclopedia of Distances. — Springer, 2009. — С. 325—326. — ISBN 978-3-642-00233-5.
  3. Weisstein, Eric W. French Metro Metric(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  4. Math 125A: Real Analysis, Fall 2012. Chapter 7. Metric Spaces
  5. Французька залізнична метрика
  6. Метрика французького метро
  7. Метрика британської залізниці (не за тим визначенням, яке використовується у Великій Британії)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.