Залишково скінченна група

У теорії груп група $G$ є скінченно апроксимовна або залишково скінченною, якщо для кожного елемента $g$ , який не є одиницею в $G$ , існує гомоморфізм $h$ з $G$ у скінченну групу такий, що

h(g)\neq 1.

Існує ряд еквівалентних означень:

Група є скінченно апроксимовною, якщо для кожного неодиничного елемента групи існує нормальна підгрупа скінченного індексу, що не містить цей елемент.
Група скінченно апроксимовною тоді і лише тоді, коли перетин усіх її підгруп скінченного індексу є тривіальним.
Група скінченно апроксимовною тоді і лише тоді, коли перетин усіх її нормальних підгруп скінченного індексу є тривіальним.
Група є скінченно апроксимовною тоді і лише тоді, коли вона може бути вкладена всередину прямого добутку сім'ї скінченних груп.

Приклади

Прикладами скінченно апроксимовних груп є скінченні групи, вільні групи, скінченно породжені нільпотентні групи, поліциклічні скінченні групи, скінченно породжені лінійні групи та фундаментальні групи компактних 3-вимірних многовидів. Підгрупи скінченно апроксимовних груп є скінченно апроксимовними, і прямі добутки скінченно апроксимовних груп також є скінченно апроксимовними. Будь-яка проєктивна границя скінченно апроксимовних груп є скінченно апроксимовною. Зокрема, усі проскінченні групи є скінченно апроксимовними.

Можна побудувати приклади груп, які не є скінченно апроксимовними, якщо використати факт, що всі скінченно породжені скінченно апроксимовні групи є групами Гопфа. Наприклад, група Баумслага — Солітера ${\rm {BS}}(2,3)$ не є гопфівською, а отже, не скінченно апроксимовна.

Проскінченна топологія

Будь-яку групу $G$ можна перетворити на топологічну групу, якщо взяти за базис відкриті околи одиниці, набір усіх нормальних підгруп скінченного індексу в групі $G.$ Отримана топологія називається проскінченною топологією на групі $G$ . Група скінченно апроксимовна тоді й лише тоді, коли її проскінченна топологія ― гаусдорфова.

Група, циклічні підгрупи якої замкнуті в проскінченній топології, позначається як $\Pi _{C}$ . Групи, в яких будь-яка скінченно породжена підгрупа є замкнутою в проскінченній топології, називаються підгруп сепарабельними (також $LERF$ ― локально розширеними скінченно апроксимовними). Група, в якій будь-який клас спряженості є замкненим у проскінченній топології, називається сепарабельно спряженою.

Многовиди скінченно апросимовних груп

На питання «Які властивості многовиду всіх скінченно апроксимовних груп?» є дві відповіді:

Будь-який многовид, що містить лише скінченно апроксимовні групи, породжується $A$ -групою.
Якщо многовид включає лише скінченно апроксимовні групи, то цей многовид містить скінченну групу таку, що всі її члени вкладено в прямий добуток цієї скінченної групи.

Властивості

Теорема Мальцева.[1] Будь-яка скінченно породжена підгрупа загальної лінійної групи є скінченно апроксимовною.
Підгрупа скінченно апроксимовної групи є скінченно апроксимовною.
Прямий добуток скінченно апроксимовних груп є скінченно апроксимовним.
Обернена границя скінченно апроксимовних груп є скінченно апроксимовною.
Зокрема, проскінченні групи є скінченно апроксимовними.
Будь-яка скінченно породжена скінченно апроксимовна група є гопфовою, тобто не має власних факторгруп, ізоморфних їй самій.

Література

A. I. Mal'cev, «On the faithful representation of infinite groups by matrices» Transl. Amer. Math. Soc. (2), 45 (1965) pp. 1–18

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] A. I. Mal'cev, «On the faithful representation of infinite groups by matrices» Transl. Amer. Math. Soc. (2), 45 (1965) pp. 1–18