Функція Веєрштрасса
Функція Веєрштрасса — приклад неперервної функції, яка ніде не має похідної; контрприклад для гіпотези Ампера.
Функція Веєрштрасса задається на всій дійсній прямій єдиним аналітичним виразом:
- ,
де — довільне непарне число, а — додатне число, менше одиниці. Цей функціональний ряд мажорується рядом
- ,
тому функція визначена і неперервна при всіх дійсних . Проте ця функція не має похідної принаймні при
- .
Для доведення відсутності похідної в довільній точці , будують дві послідовності і , що збігаються в точці , та доводять, що відношення
- і
мають різні знаки принаймні за
- і .
Для побудови зазначених послідовностей попередньо визначають такі цілі числа , щоб різниця
лежала між та , а потім вважають, що
- і .
Відсутність похідної у всіх точках за загальніших умов
- та
Історична довідка
У 1806 році Ампер [2] зробив спробу довести аналітично, що всяка «довільна» функція диференційована всюди, за винятком «виняткових та ізольованих» значень аргументу. При цьому приймалося за очевидне можливість розбиття інтервалу зміни аргументу на частини, в яких функція була б монотонною. З цими зауваженнями гіпотезу Ампера можна розглядати як несуворе формулювання теореми Лебега [3]. У першій половині XIX століття робилися спроби довести гіпотезу Ампера для ширшого класу, саме для всіх безперервних функцій. У 1861 році Ріман навів своїм слухачам як контрприклад таку функцію
- ;
проте дослідження диференційованості цієї функції надзвичайно складне. У 1970 році Дж. Джевер довів, що ця функція все ж має похідну в деяких раціональних точках. У 1872 році Веєрштрасс зазначив простіший контрприклад — введену вище функцію та надав суворе доведення її недиференційованності. [4] У пресі цей приклад вперше з'явився у 1875 році в роботі Дюбуа-Реймона [5]. Ще простіший приклад належить ван дер Вардену (1930):
- ,
де фігурні дужки означають дробову частину. [6]
Література
- Weierstrass K. Math. Werke . Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
- Рісс. Ф., С.-Надь Б.Лекції з функціонального аналізу.М.: Мир, 1979.
Примітки
- Hardy G. H. Weierstrass's nondifferentiable function // Trans. Amer. Math. Soc., 17 (1916), р. 301-325. Втім і Веєрштрасс згадував це твердження в листі до Дюбуа-Реймону у 1873 році, див.: Полубарінова-Кочина П. Я. Карл Веєрштрасс. Москва: Наука, 1985. с. 229.
- Ampère, AM / / Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
- Рісс. Ф., С.-Надь Б. Лекції з функціонального аналізу. М.: Мир, 1979. С. 13.
- Доповідь Веєрштрасса, прочитана в Пруській академії наук 18 липня 1872 р., опублікована в зібранні творів (Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.).
- Du Bois-Reymond R. //J. für Math., 79 (1875), p. 21-37; Веєрштрасс був редактором цього журналу і повідомив про свій контрприклад в листі до Дюбуа-Реймону 23 листопада 1873 р., див: Полубарінова-Кочина П. Я. Карл Веєрштрасс. Москва: Наука, 1985. с. 229.
- Van der Waerden B.L.//Math. Zeitschr., 32 (1930), p. 474-475.