Числа Різеля

У математиці число Різеля — непарне натуральне число k, для якого цілі числа виду k·2ⁿ−1 складені для всіх натуральних чисел n. Іншими словами, коли k — число Різеля, всі елементи множини ${\displaystyle \left\{\,k\cdot 2^{n}-1:n\in \mathbb {N} \,\right\}}$ складені. У 1956 році Ганс Різель ( швед. Hans Riesel ) довів, що існує нескінчена кількість цілих чисел k таких, що k·2ⁿ−1 є складеними для будь-якого цілого n. Він показав, що цю властивість має число 509203, а також 509203 плюс будь-яке натуральне число, помножене на 11184810. Те, що певне число є числом Різеля, може бути показано знаходженням покриваючої множини простих чисел, на які буде ділитися будь-який член послідовності. Відомі числа Різель менше одного мільйона мають наступні покриваючі множини:

• 509203·2ⁿ−1: {3, 5, 7, 13, 17, 241};
• 762701·2ⁿ−1: {3, 5, 7, 13, 17, 241};
• 777149·2ⁿ−1: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73};
• 790841·2ⁿ−1: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73};
• 992077·2ⁿ−1: {3, 5, 7, 13, 17, 241}.

Проблема Різеля полягає у визначенні найменшого числа Різеля. Через те, що для жодного числа k < 509203 не знайдено покриваючої множини, припускається, що 509203 є найменшим числом Різеля. Щоб це довести, достатньо для всіх непарних k < 509203 знайти таке число n, що k·2ⁿ−1 є простим. Однак, станом на грудень 2017 для 49 значень k<509203 ще не відомо, чи існують відповідні прості. Ось вони: 2293, 9221, 23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 93839, 97139, 107347, 121889, 129007, 143047, 146561, 161669, 192971, 206039, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557, 494743.

У проекті добровільних розподілених обчислень PrimeGrid для кандидатів на числа Різеля перевіряються на простоту числа k·2ⁿ−1 для всіх вказаних k та натуральних n, починаючи з 1.Якщо в такій послідовності знаходиться просте число, цей кандидат виключається з розгляду. З березня 2010 р. по грудень 2017 з кандидатів у числа Різель були виключені 15 чисел.

Натуральне число може бути одночасно числом Різель і числом Серпінського, наприклад 143 665 583 045 350 790 000 000.