Нескінченна множина

Нескінченна множина — множина, що не є скінченною. Можна дати ще декілька еквівалентних означень нескінченної множини:

• Множина, в якій для будь-якого натурального числа ${\displaystyle n}$ знайдеться скінченна підмножина із ${\displaystyle n}$ елементів.
• Множина, в якій знайдеться зліченна підмножина.
• Множина, в якій знайдеться підмножина, рівнопотужна деякому (ненульовому) граничному ординалу.
• Множина, для якої існує бієкція з деякою його власною підмножиною.

Для будь-якої нескінченної множини існує множина з ще більшою потужністю — таким чином, не існує нескінченної множини найбільшої потужності. Потужності нескінченних множин називаються алефами і позначаються ${\displaystyle \aleph _{\alpha },}$ де індекс ${\displaystyle \alpha }$ пробігає всі порядкові числа. Потужності нескінченних множин складають цілком упорядкований клас — найменшою потужністю нескінченної множини є ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (алеф-0, потужність множини натуральних чисел), за ним слідують ${\displaystyle \aleph _{1},\aleph _{2},\dots \aleph _{\omega },\aleph _{\omega +1},\dots \aleph _{\omega _{1}},\dots \aleph _{\omega _{\omega _{1}}},\dots }$