D-матриця Вігнера

Нехай ${\displaystyle J_{x}}$, ${\displaystyle J_{y}}$, ${\displaystyle J_{z}}$ утворюють алгебри Лі ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ і ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$. У квантовій механіці ці три оператори є компонентами векторного оператора відомого як кутовий момент. Прикладами можуть служити момент електрона в атомі, електронний спін і момент кількості руху жорсткого ротатора. У всіх випадках три оператори задовольняють наступним комутаційним співвідношенням

${\displaystyle [J_{x},\;J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},\;J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y},\;J_{z}]=iJ_{x},}$

де ${\displaystyle i}$ це уявна одиниця і стала Планка ${\displaystyle \hbar }$ задана рівною одиниці. Оператор

${\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}$

є оператором Казиміра з ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ (або ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$, в залежності від обставин). Він може бути діагоналізований разом з ${\displaystyle J_{z}}$ (вибір цього оператора визначається угодою), який комутує з ${\displaystyle J^{2}}$. Тобто, можна показати, що існує повний набір кетів з

${\displaystyle J^{2}|jm\rangle =j(j+1)|jm\rangle ,\quad J_{z}|jm\rangle =m|jm\rangle ,}$

де ${\displaystyle j=0,\ 1/2,\ 1,\ 3/2,\ 2,\ \ldots }$ і ${\displaystyle m=-j,\ -j+1,\ldots ,\ j}$. Для ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ квантове число ${\displaystyle j}$ є цілим.

Оператор повороту можна записати у вигляді

${\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )=e^{-i\gamma J_{z}}e^{-i\beta J_{y}}e^{-i\alpha J_{z}},}$

де ${\displaystyle \alpha ,\ \beta ,\ \gamma }$ — кути Ейлера.

${\displaystyle D}$-матриця Вігнера є квадратною матрицею розмірності ${\displaystyle 2j+1}$ із загальним елементом

${\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )\equiv \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =e^{-im'\gamma }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\alpha }.}$

Матриця з загальним елементом

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=\langle jm'|e^{-i\beta J_{y}}|jm\rangle }$

відома як мала ${\displaystyle d}$-матриця Вігнера.

для ${\displaystyle j=1/2}$

• ${\displaystyle d_{1/2,\;1/2}^{1/2}=\cos(\theta /2)}$
• ${\displaystyle d_{1/2,\;-1/2}^{1/2}=-\sin(\theta /2)}$

для ${\displaystyle j=1}$

• ${\displaystyle d_{1,\;1}^{1}={\frac {1+\cos \theta }{2}}}$
• ${\displaystyle d_{1,\;0}^{1}={\frac {-\sin \theta }{\sqrt {2}}}}$
• ${\displaystyle d_{1,\;-1}^{1}={\frac {1-\cos \theta }{2}}}$
• ${\displaystyle d_{0,\;0}^{1}=\cos \theta }$

для ${\displaystyle j=3/2}$

• ${\displaystyle d_{3/2,\;3/2}^{3/2}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}$
• ${\displaystyle d_{3/2,\;1/2}^{3/2}=-{\sqrt {3}}{\frac {1+\cos \theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}}$
• ${\displaystyle d_{3/2,\;-1/2}^{3/2}={\sqrt {3}}{\frac {1-\cos \theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}$
• ${\displaystyle d_{3/2,\;-3/2}^{3/2}=-{\frac {1-\cos \theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}}$
• ${\displaystyle d_{1/2,\;1/2}^{3/2}={\frac {3\cos \theta -1}{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}$
• ${\displaystyle d_{1/2,\;-1/2}^{3/2}=-{\frac {3\cos \theta +1}{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}}$

для ${\displaystyle j=2}$[1]

• ${\displaystyle d_{2,\;2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1+\cos \theta \right)^{2}}$
• ${\displaystyle d_{2,\;1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1+\cos \theta \right)}$
• ${\displaystyle d_{2,\;0}^{2}={\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin ^{2}\theta }$
• ${\displaystyle d_{2,\;-1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)}$
• ${\displaystyle d_{2,\;-2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1-\cos \theta \right)^{2}}$
• ${\displaystyle d_{1,\;1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1\right)}$
• ${\displaystyle d_{1,\;0}^{2}=-{\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin 2\theta }$
• ${\displaystyle d_{1,\;-1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(-2\cos ^{2}\theta +\cos \theta +1\right)}$
• ${\displaystyle d_{0,\;0}^{2}={\frac {1}{2}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)}$

Елементи ${\displaystyle d}$-матриці Вігнера із зворотними нижніми індексами знаходяться за наступним співвідношенням:

${\displaystyle d_{m',\;m}^{j}=(-1)^{m-m'}d_{m,\;m'}^{j}=d_{-m,\;-m'}^{j}}$.

• Коефіцієнти Клебша — Ґордана