Коефіцієнти Клебша — Ґордана

Вектори стану багатьох квантових систем можна вибрати таким чином, щоб вони були власними функціями квадрата оператора кутового момента і його проекції на певну вісь. Такі вектори стану характеризуються двома квантовими числами j та m, відповідні власні значення:

${\displaystyle {\hat {J^{2}}}|jm\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)|jm\rangle }$

${\displaystyle {\hat {J}}_{z}|jm\rangle =\hbar m|jm\rangle }$,

де ${\displaystyle \hbar }$ — зведена стала Планка.

Систему, що складається із двох незалежних підсистем, кожна з яких має власний кутовий момент, можна характеризувати чотирма квантовими числами: ${\displaystyle j_{1}}$, ${\displaystyle m_{1}}$ та ${\displaystyle j_{2}}$, ${\displaystyle m_{2}}$. Вектор стану такої системи можна записати як ${\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle }$.

Однак, такий вибір власних векторів стану не єдиний. Квадрат оператора суми операторів кутових моментів

${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}=({\hat {\mathbf {J} }}_{1}+{\hat {\mathbf {J} }}_{2})^{2}}$.

комутує з операторами ${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}_{1}^{2}}$ та ${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}_{2}^{2}}$. Те ж саме стосується проекції оператора сумарного моменту:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}_{z}={\hat {\mathbf {J} }}_{1z}+{\hat {\mathbf {J} }}_{2z}}$.

Тому сумарну систему можна характеризувати чотирма квантовими числами: ${\displaystyle j_{1}}$, ${\displaystyle j_{2}}$, ${\displaystyle j}$, ${\displaystyle m}$, де числа без індексів відносяться сумарної системи. Відповідний вектор стану позначається ${\displaystyle |j_{1}j_{2}jm\rangle }$. Нові, сумарні, вектори стану можна подати, як лінійну комбінацію старих, індивідуальних, векторів стану ${\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle }$. Коефіцієнти цієї лінійної комбінації називаються коефіцієнтами Клебша — Ґордана:

${\displaystyle |j_{1}j_{2}jm\rangle =\sum _{m_{1},m_{2}}(j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}|jm)|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle }$.

Коефіцієнти Клебша — Ґордана відмінні від нуля тільки тоді, коли

${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}\,}$.

Крім того, квантове число сумарного орбітального моменту задовольняє умові трикутника:

${\displaystyle |j_{2}-j_{1}|\leq j\leq |j_{1}+j_{2}|}$.

Справедливі умови ортогональності та нормування:

${\displaystyle \sum _{jm}(j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}|jm)(j_{1}j_{2}m_{1}^{\prime }m_{2}^{\prime }|jm)=\delta _{m_{1},m_{1}^{\prime }}\delta _{m_{2},m_{2}^{\prime }}}$

${\displaystyle \sum _{m_{1},m_{2}}(j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}|jm)(j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}|j^{\prime }m^{\prime })=\delta _{j,j^{\prime }}\delta _{m,m^{\prime }}}$,

де ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера.

• Оператор повного моменту
• Сферичні гармоніки
• Теорема Вігнера — Еккарта
• 3j-символи
• 6j-символи
• 9j-символи
• 12j-символи
• 15j-символи

• Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с.
• Давидов О. С. Квантова механіка. — К. : Академперіодика, 2012. — 706 с.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М. : Наука, 1976. — 664 с.
• Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров = Gruppentheorie und ihre Anwendungen auf die Quantenmechanik der Atomspektren. — М. : ИЛ, 1961. — 444 с.
• Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии = Angular Momentum: Understanding Spatial Aspects in Chemistry and Physics. — М. : Мир, 1993. — 352 с.
• Хамермеш М. Теория групп и её применение к физическим проблемам = Group Theory and Its Application to Physical Problems. — М. : Наука, 1966. — 588 с.