P-адичне число

Нехай маємо деяке ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$ — ціле число. Назвемо ординалом цього числа по відношенню щодо деякого простого ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle \operatorname {ord} _{p}x=\max\{r\colon p^{r}|x\}}$

Далі для ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\in \mathbb {Q} }$ визначимо:

${\displaystyle \operatorname {ord} _{p}{\frac {a}{b}}=\operatorname {ord} _{p}a-\operatorname {ord} _{p}b}$

Еквівалентно, якщо ${\displaystyle x=p^{n}{\frac {a}{b}}}$, де ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ не діляться на ${\displaystyle p}$ то ${\displaystyle \operatorname {ord} _{p}x=n}$. Вважатимемо також, що ординал нуля рівний безмежності. Визначимо ${\displaystyle p}$-адичну норму для ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$ таким чином:

${\displaystyle |x|_{p}={\begin{cases}p^{-\operatorname {ord} _{p}x},&{\mbox{ }}a\neq 0\\p^{-\infty },&{\mbox{ }}a=0.\end{cases}}}$

Визначена подібним чином функція справді є нормою оскільки:

• ${\displaystyle |x|_{p}=0}$ тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle x=0}$

Справді, ${\displaystyle 0}$ — єдине число ординал якого рівний нескінченності і відповідно єдине, для якого виконується дана рівність.

• ${\displaystyle |xy|_{p}=|x|_{p}|y|_{p}}$

Справді, нехай ${\displaystyle x=p^{n}{\frac {a}{b}}}$, а ${\displaystyle y=p^{n}{\frac {c}{d}}}$, де жодне з чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ не ділиться на p. Тоді ${\displaystyle xy=p^{n+m}{\frac {ac}{bd}}}$ і ${\displaystyle ac}$, ${\displaystyle bd}$ не діляться на ${\displaystyle p}$.

За означеннями маємо: ${\displaystyle |x|_{p}={\frac {1}{p^{n}}}}$, ${\displaystyle |y|_{p}={\frac {1}{p^{m}}}}$,

${\displaystyle |xy|_{p}={\frac {1}{p^{n+m}}}}$, що й доводить наше твердження.

• ${\displaystyle |x+y|_{p}\leq \max\{|x|_{p},|y|_{p}\}}$

Нехай знову ${\displaystyle x=p^{n}{\frac {a}{b}}}$, а ${\displaystyle y=p^{n}{\frac {c}{d}}}$, де жодне з чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ не ділиться на ${\displaystyle p}$. Нехай також ${\displaystyle n\leq m}$. Тоді ${\displaystyle |x+y|_{p}=p^{n}\left({\frac {ad+p^{m-n}bc}{bd}}\right)}$.

Тож очевидно ординал ${\displaystyle x+y}$ не може бути меншим ${\displaystyle n}$. Окрім того у випадку коли ${\displaystyle n}$ строго менше ${\displaystyle m}$ ординал є рівним ${\displaystyle n}$ адже в такому випадку чисельник і знаменник у розписі суми очевидно не діляться на ${\displaystyle p}$.

Таким чином ${\displaystyle |\cdot |_{p}}$, є неархімедовою нормою на полі раціональних чисел. Наприклад для числа ${\displaystyle x=63/550=2^{-1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}}$

${\displaystyle \displaystyle |x|_{2}=2\,\!}$

${\displaystyle \displaystyle |x|_{3}=1/9\,\!}$

${\displaystyle |x|_{5}=25\,\!}$

${\displaystyle \displaystyle |x|_{7}=1/7\,\!}$

${\displaystyle |x|_{11}=11\,\!}$

${\displaystyle |x|_{p}=1}$, для інших простих чисел.

Послідовність ${\displaystyle (a_{i})}$ називається збіжною до ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$ за нормою ${\displaystyle |\cdot |_{p}}$, якщо

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }|a_{i}-a|_{p}=0}$.

Якщо ${\displaystyle a=0}$ то така послідовність називається нуль-послідовністю.

Послідовність ${\displaystyle (a_{i})}$ називається фундаментальною, якщо:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\exists M\in \mathbb {Z} }$ таке що ${\displaystyle m,n>M\Rightarrow |a_{m}-a_{n}|_{p}<\varepsilon }$.

Із збіжності послідовності випливає її фундаментальність. Зворотне твердження у множині раціональних чисел є невірним.

Введемо на множині фундаментальних послідовностей раціональних чисел щодо p-адичної норми відношення еквівалентності: фундаментальні послідовності ${\displaystyle a_{i}}$ і ${\displaystyle b_{i}}$ є еквівалентні тоді й лише тоді коли їх різниця є нуль-послідовнісю. Позначатимемо клас еквівалентності послідовності ${\displaystyle (a_{i})}$ через ${\displaystyle \{a_{i}\}}$. На множині класів еквівалентності визначимо арифметичні операції:

${\displaystyle \{a_{n}\}+\{b_{n}\}=\{a_{n}+b_{n}\}}$,

${\displaystyle \{a_{n}\}\{b_{n}\}=\{a_{n}b_{n}\}}$.

Дані означення є несуперечливими оскільки сума двох нуль-послідовностей є нуль-послідовністю і добуток фундаментальної послідовності на нуль-послідовність є нуль-послідовністю. Визначимо також загальну ${\displaystyle p}$-адичну норму:

${\displaystyle |{a_{i}}|_{p}=\lim _{n\to +\infty }|a_{i}|_{p}}$

Таким чином сконструйовано поле, що є повним відносно p-адичної норми. Воно і називається полем ${\displaystyle p}$-адичних чисел. Раціональні числа є щільним підполем даного поля. Числа x для яких ${\displaystyle |x|_{p}\leq 1}$ називаються p-адичними цілими числами.