Індуковане розшарування

Індуковане розшарування — розшарування $\pi ':f^{*}(E)\to B'$ , індуковане відображенням $f\colon B'\to B$ і розшаруванням $\pi \colon E\to B$ , де $f^{*}(E)$ — підпростір прямого добутку $B'\times E$ , що складається з пар $(b',e)$ , виду:

\{(b',e)\in B'\times E\mid f(b')=\pi (e)\}\subset B'\times E

,

для яких $f(b')=\pi (e)$ , а проекція за означенням задана як $\pi '\colon (b',e)\mapsto b'$ .

Шаром $f * E$ над точкою $b'$ простору $B'$ є шар у $E$ над $f (b')$ . Тобто як множина $f * E$ є диз'юнктним об'єднанням всіх цих шарів.

Відображення ${\tilde {f}}\colon f^{*}(E)\to E$ індукованого розшарування в вихідне розшарування, задане формулою ${\tilde {f}}(b',e)=e$ є морфізмом розшарувань, що накриває $f$ . При цьому комутативна діаграма утворює декартовий квадрат:

Властивості

Для кожної точки $b'\in B'$ обмеження на шар є гомеоморфізмом.
Для будь-якого розшарування $\eta \colon X\to B'$ і морфізму розшарувань $h:X\to E$ , що накриває $f$ , існує один і тільки один $B'$ -морфізм $k:X\to f^{*}(E)$ , що задовольняє співвідношенню ${\tilde {f}}k=h$ .
Розшарування, індуковані ізоморфними розшаруваннями, є ізоморфними. Розшарування, індуковане постійним відображенням є ізоморфним тривіальному розшаруванню.
Для будь-якого перетину $s$ розшарування $\pi$ відображення $\sigma \colon B'\to f^{*}(E)$ , задане формулою $\sigma (b')=(b',sf(b'))$ , є перетином індукованого розшарування $f^{*}(\pi )$ і задовольняє співвідношенню ${\tilde {f}}\sigma =sf$ .
Якщо $(U, φ)$ є локальною тривіалізацією розшарування $E$ , тоді $(f - 1 U, ψ)$ є локальною тривіалізацією $f * E$ де

\psi (b',e)=(b',{\mbox{proj}}_{2}(\varphi (e))).\,

Тобто у цьому випадку

f * E

теж є локально тривіальним розшаруванням над

B'

з шаром

F

.

Якщо локально тривіальне розшарування $E \to B$ також має структурну групу $G$ з функціями перетворення $t ij$ (для локальних тривіалізацій ${(U i, φ i)}$ , тоді $G$ також буде структурною групою індукованого розшарування $f * E$ . Функції перетворення розшарування $f * E$ рівні

f^{*}t_{ij}=t_{ij}\circ f.

Якщо $E \to B$ є векторним чи головним розшаруванням, то таким же розшаруванням є $f * E$ . У випадку головних розшарувань права дія групи $G$ на $f * E$ визначається як

(x,e)\cdot g=(x,e\cdot g)

Звідси випливає, що

{\tilde {f}}

є еквіваріантним відображенням і тому задає морфізм головних розшарувань.

Література

Steenrod, N. (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6.
Husemoller, D. (1994). Fibre Bundles. Graduate Texts in Mathematics 20 (вид. Third). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94087-8.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.