Дія групи

Ді́я групи $G$ на множині $X$ — це відображення

G\times X\to X,\quad (g,x)\mapsto gx,

що має властивості:

$\ g(hx)=(gh)x$
$\ ex=x$

для всіх $g,h\in G,x\in X,$ де $\ e$ — це нейтральний елемент $G.$

З аксіом групи випливає, що для кожного $g\in G,$ відображення множини $\ X$ до себе за формулою $x\mapsto gx$ є бієкцією або автоморфізмом $\ X.$

Типи дій

Вільна, якщо для будь-яких $g,\;h\in G$ не рівних між собою і довільного $m\in M$ виконується $\ gm\neq hm$ .
Транзитивна якщо для будь-яких $m,\;n\in M$ існує $g\in G$ такий, що $gm=n$ , тобто якщо $Gm=M$ для довільного $m\in M$ .
Ефективна, якщо для довільних $g,\;h\in G$ існує $m\in M$ такий, що $gm\neq hm$ .

Орбіти елементів

Підмножина

Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M

називається орбітою елемента $m\in M$ .

Дія групи $G$ на множині $M$ визначає на ній відношення еквівалентності

\forall n,\;m\in M\;(n\sim _{G}m)\Longleftrightarrow (\exists g\in G\;gn=m)\Longleftrightarrow (Gn=Gm).

Стабілізатор

Підмножина

G_{m}=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G

є підгрупою групи $G$ і називається стабілізатором елемента $m\in M$ .

Стабілізатори елементів однієї орбіт спряжені, тобто якщо $n\sim _{G}m$ , то існує такий елемент $g\in G$ , що

G_{m}=gG_{n}g^{-1}.

Кількість елементів в орбіті

Загальна кількість елементів в орбіті елемента $m\in M$ визначається за формулою:

|Gm|=[G:G_{m}]

, де

G_{m}

— стабілізатор елемента

m

і

[G:G_{m}]

— індекс підгрупи

G_{m}\subset G

, що для скінченних груп рівний

{\frac {|G|}{|G_{m}|}}

.

Справді нехай елемент n належить до орбіти елемента m, припустимо n = gm для деякого $g\in G.$ Визначимо тепер відображення f(n)=nH, де H=G_m - стабілізатор елемента m. Дане означення відображеняя з множини елементів орбіти m на множину лівих класів суміжності по H ' є несуперечливим, адже якщо y=g₁x=g₂x то $g^{-1}{2}g{1}\in H$ і як наслідок g₁H=g₂H. Зважаючи на довільність вибору g, одержуємо, що відображення є сюр'єктивним. З іншого боку якщо g₁H=g₂H тоді $g^{-1}{2}g{1}\in H$ і згідно з означенням стабілізатора $g^{-1}{2}g{1}x=x,$ звідки випливає g₁x=g₂x. Тобто відображення є ін'єктивним і значить бієктивним. Тобто потужність орбіти рівна потужності лівих класів суміжності по H, тобто за означенням рівна індексу підгрупи H, що доводить твердження

Якщо $M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k}$ , то

|M|=\sum _{t=1}^{k}[G:G_{m_{t}}]

— формула розбиття на орбіти.

Звідси випливають наступні тотожності:

$\forall m\in M\;\sum _{n\in Gm}|G_{n}|=|G|;$
$\sum _{m\in M}|G_{m}|=k|G|;$
Лема Бернсайда

Варіації та узагальнення

Псевдогрупа перетворень

Див. також

Представлення групи

Джерела

Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.