Алгоритм Борувки
Алгоритм Борувки — це алгоритм пошуку мінімального кістякового дерева в графі.
Алгоритми пошуку графами та деревами |
---|
|
Переліки |
|
Пов'язані теми |
Історія
Вперше опубліковано 1926 року Отакаром Борувкою як метод пошуку оптимальної електричної мережі в Моравії. Алгоритм кілька разів було перевідкрито, зокрема Флореком, Перкалєм та Солліном. Останній був єдиним західним ученим з цього переліку, тому алгоритм часто називають алгоритмом Солліна, особливо в літературі з паралельних обчислень.
Алгоритм
Робота алгоритму складається з декількох ітерацій, кожна з яких полягає в послідовному додаванні ребер до кістякового лісу графу, доки ліс не перетвориться на дерево, (тобто, ліс, що складається з однієї компоненти зв'язності).
У псевдокоді, алгоритм можна записати так:
- Нехай спочатку T — порожня множина ребер (являє собою ліс, до якого кожна вершина входить як окреме дерево).
- Поки T не є деревом (що еквівалентно умові: кількість ребер у T менше, ніж V — 1, де V — кількість вершин у графі):
- Для кожної компоненти зв'язності (тобто, дерева в кістяковому лісі) у підграфі з ребрами T, знайдемо найдешевше ребро, що пов'язує цю компоненту з будь-якою іншою компонентою зв'язності. Вважаємо, що вага ребер різна, або якось додатково впорядкована так, що завжди можна знайти єдине ребро з мінімальною вагою.
- Додамо знайдені ребра до множини T.
- Отримана множина ребер T є мінімальним кістяковим деревом початкового графу.
Приклад коду:
Graph Boruvka(Graph G)
while T.size < n - 1
init() // для кожної компоненти зв'язності вага мінімального ребра = Inf
findComp(T) // розбиваємо граф T на компоненти зв'язності звичайним dfs-ом
for uv \in E
if u.comp != v.comp
if minEdge[u.comp].w < uv.w
minEdge[u.comp] = uv
if minEdge[v.comp].w < uv.w
minEdge[v.comp] = uv
for k \in Component // Component — множина компонент зв'язності в T
T.addEdge(minEdge[k]) // додаємо ребро, якщо його не було в T
return T;
Складність алгоритму
Під час кожної ітерації (за винятком, можливо, останньої) кількість дерев у кістяковому лісі зменшується вдвічі, тому алгоритм зробить не більше, ніж ітерацій. Кожна ітерація може бути реалізована зі складністю , тому загальний час роботи алгоритми становить (V та E — відповідно кількість вершин та ребер у графі).
Для деяких видів графів, зокрема, планарних, час може бути скорочено до [1][2]. Існує також рандомізований алгоритм побудови мінімального кістякового дерева, заснований на алгоритмі Борувки, що працює в середньому за лінійний час.
Див. також
Посилання
- Eppstein, David (1999). Spanning trees and spanners. У Sack, J.-R.; Urrutia, J. Handbook of Computational Geometry. Elsevier. с. 425–461.
- Mareš, Martin (2004). Two linear time algorithms for MST on minor closed graph classes. Archivum mathematicum 40 (3). с. 315–320.