Безумовна збіжність
В математичному аналізі, ряд в банаховому просторі X називається безумовно збіжним, якщо для довільної перестановки ряд є збіжним.
Властивості
- Якщо ряд є безумовно збіжним, то існує єдиний елемент такий що для довільної перестановки
- Довільний абсолютно збіжний ряд є безумовно збіжним, але обернене твердження є невірним. Проте, коли X = Rn, тоді внаслідок теореми Рімана , ряд є безумовно збіжним тоді і тільки тоді, коли він є абсолютно збіжним.
- Якщо послідовність елементів гільбертового простору H, то з безумовної збіжності ряду випливає
Еквівалентні визначення
Можна дати кілька еквівалентних визначень безумовної збіжності: ряд є безумовно збіжним тоді і тільки тоді коли:
- для довільної послідовності , де , ряд є збіжним.
- для довільної послідовності , такої що , ряд є збіжним.
- для довільної послідовності , ряд є збіжним.
- для довільного існує скінченна підмножина така що для довільної скінченної підмножини
Приклад
Нехай дано простір де — банаховий простір числових послідовностей з нормою . Розглянемо в ньому послідовність де ненульове значення стоїть на n-му місці. Тоді ряд є безумовно збіжним, але не є абсолютно збіжним.
Див. також
Посилання
- Попов Михайло. Геометрія банахових просторів[недоступне посилання з лютого 2019](укр.)
- Christopher Heil. A Basis Theory Primer (англ.)
- Безумовна збіжність на PlanetMath.(англ.)
Література
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1964. — Т. 2. — 800 с.(рос.)
- Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
- Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. Dover Publications. ISBN 978-0486601533.
- Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover Publications. ISBN 978-0486661650.
- P. Wojtaszczyk (1996). Banach Spaces for Analysts. Cambridge University Press . ISBN 978-0521566759 .
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.