Вартість грошей у часі

• Приведена вартість майбутньої (за ${\displaystyle n}$ періодів) грошової суми ${\displaystyle FV}$ при процентній ставці ${\displaystyle i}$

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {FV}{(1+i)^{n}}}}$

• Приведена вартість звичайного ануїтету (постнумерандо) зі сталою величиною платежу ${\displaystyle A}$

${\displaystyle PV\,=\,A\cdot {\frac {1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}}}$

У випадку ануїтету пренумерандо результат треба домножити на ${\displaystyle (1+i)}$

• Приведена вартість довічного ануїтету (постнумерандо) зі сталою величиною платежу ${\displaystyle A}$

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {A}{i}}}$

• Приведена вартість довільного грошового потоку ${\displaystyle CF_{0},CF_{1},...,CF_{n}}$

${\displaystyle PV\,=\,\sum _{j=0}^{n}{\frac {CF_{j}}{(1+i)^{j}}}}$

називається його чистою поточною вартістю.

• Майбутня вартість сьогоднішньої грошової суми ${\displaystyle PV}$ за ${\displaystyle n}$ періодів при процентній ставці ${\displaystyle i}$

${\displaystyle FV\,=\,PV\cdot (1+i)^{n}}$

• Майбутня вартість звичайного ануїтету (постнумерандо) зі сталою величиною платежу ${\displaystyle A}$

${\displaystyle FV\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}}$

У випадку ануїтету пренумерандо результат треба домножити на ${\displaystyle (1+i)}$

• Майбутня вартість довільного грошового потоку ${\displaystyle CF_{0},CF_{1},...,CF_{n}}$

${\displaystyle FV\,=\,\sum _{j=0}^{n}CF_{j}(1+i)^{n-j}}$

Обчислення приведеної та майбутньої базуються на умовних початковому та кінцевому моментах аналізу вартості грошей. Узагальнюючи, якщо в момент ${\displaystyle t_{0}}$ відома сума грошей ${\displaystyle V(t_{0})}$, то вартість грошей в довільному моменті ${\displaystyle t}$ можна обчислити за формулою

${\displaystyle V(t)\,=\,V(t_{0})\cdot (1+r)^{t-t_{0}}}$,

де ${\displaystyle r}$ — річна ефективна процентна ставка. Метод абстрагується від періодичності капіталізації відсотків, експоненційний ріст вартості є неперервним в часі. Різниця ${\displaystyle t-t_{0}}$ — це час (кількість років), який минув від моменту ${\displaystyle t_{0}}$ до моменту ${\displaystyle t}$. Якщо ця різниця додатня, то актуалізаця вартості грошей відбувається на пізніший момент, а якщо від'ємна — на раніший момент (дисконтування).

Якщо грошові суми ${\displaystyle V_{1}(t_{1})}$ і ${\displaystyle V_{2}(t_{2})}$ мають однакову вартість, то при ${\displaystyle t_{1}\ \neq \ t_{2}}$ відповідна процентна ставка визначається за формулою

${\displaystyle r\,=\,\left({\frac {V_{2}(t_{2})}{V_{1}(t_{1})}}\right)^{\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}-1}$

Властивості:

• Адитивність: якщо в момент ${\displaystyle t_{0}}$ грошова сума складається з двох частин:

${\displaystyle V(t_{0})\,=\,V_{1}(t_{0})+V_{2}(t_{0})}$,

і вартість обох складових змінюється за однаковою відсотковою ставкою ${\displaystyle r}$, то вартість суми змінюється за цією ж відсотковою ставкою і, в довільний момент ${\displaystyle t}$, величина ${\displaystyle V(t)}$ дорівнює сумі величин ${\displaystyle V_{1}(t)}$ та ${\displaystyle V_{2}(t)}$.

Доведення зводиться до простого перетворення

${\displaystyle V(t)\,=\,V(t_{0})\cdot (1+r)^{t-t_{0}}\,=\,(V_{1}(t_{0})+V_{2}(t_{0}))\cdot (1+r)^{t-t_{0}}\,=\,V_{1}(t_{0})\cdot (1+r)^{t-t_{0}}+V_{2}(t_{0})\cdot (1+r)^{t-t_{0}}\,=\,V_{1}(t)+V_{2}(t)}$.

• Незалежність від моменту відліку: результат не залежить від того чи актуалізація відбувається безпосередньо з моменту ${\displaystyle t_{0}}$ на момент ${\displaystyle t}$, чи через проміжний пункт ${\displaystyle t_{1}}$. Це виникає з властивості показникової функції:

${\displaystyle V(t_{1})\,=\,V(t_{0})\cdot (1+r)^{t_{1}-t_{0}}}$,

отже

${\displaystyle V(t_{0})\cdot (1+r)^{t-t_{0}}\,=\,V(t_{0})\cdot (1+r)^{(t_{1}-t_{0})+(t-t_{1})}\,=\,V(t_{0})\cdot (1+r)^{t-t_{1}}\cdot (1+r)^{t_{1}-t_{0}}\,=\,V(t_{1})\cdot (1+r)^{t-t_{1}}}$

Порівняння лівої і правої частини доводить наявність властивості.

Зміна вартості грошей у часі з застосуванням складних відсотків з неперервною капіталізацією є особливо зручною в теоретичних застосуваннях які вимагають обчислення швидкості зміни, тобто, обчислення похідної за часом. Якщо відсоткова ставка при неперервній капіталізації ${\displaystyle r_{c}}$ та ефективна відсоткова ставка ${\displaystyle r}$ пов'язані співвідношенням

${\displaystyle e^{r_{c}}\,=\,1+r}$,

то фомулу актуалізації вартості капіталу можна записати у вигляді

${\displaystyle V(t)\,=\,V(t_{0})\cdot e^{r_{c}(t-t_{0})}}$.

Наприклад,

• приведена вартість майбутньої (за ${\displaystyle n}$ періодів) грошової суми ${\displaystyle FV}$

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {FV}{e^{nr_{c}}}}}$,

• майбутня вартість сьогоднішньої грошової суми ${\displaystyle PV}$ за ${\displaystyle n}$ періодів

${\displaystyle FV\,=\,PV\cdot e^{nr_{c}}}$.

Оскільки варіант з неперервною капіталізацією є тільки іншою формою запису зміни вартості грошей у часі, то автоматично володіє властивостями адитивності та незалежності від моменту відліку.