Складні відсотки

У формулі нижче, i — це фактична відсоткова ставка за період. ${\displaystyle FV}$ і ${\displaystyle PV}$ представляють майбутнє та поточне значення суми. ${\displaystyle n}$ представляє кількість періодів.

Ось найбазовіша формула:

${\displaystyle FV=PV(1+i)^{n}\,}$

Наведене рівняння обраховує майбутнє значення (${\displaystyle FV}$) для поточного інвестованого значення (${\displaystyle PV}$), яке наростало зі сталою відсотковою ставкою (${\displaystyle i}$) за ${\displaystyle n}$ періодів.

Формула для обчислення річного складного відсотку така:

${\displaystyle A=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}}$

Де,

• A = вихід
• P = початковий внесок
• r = річна номінальна процентна ставка (як дріб, не відсоток)
• n = кількість разів складання відсотку за рік
• t = кількість років

Приклад використання: Сума 1500.00 вкладена в банк, річна відсоткова ставка якого становить 4.3 %, і складається щоквартально. Знайти баланс через 6 років.

A. Із використанням попередньої формули, з P = 1500, r = 4.3/100 = 0.043, n = 4 і t = 6:

${\displaystyle A=1500\left(1+{\frac {0.043}{4}}\right)^{4\times 6}=1938.84}$

Отже баланс по проходженні 6 років становитиме близько 1,938.84.

Підсумкова функція для складного відсотку — це степенева функція в термінах часу.

${\displaystyle A(t)=A_{0}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{\lfloor nt\rfloor }}$

• ${\displaystyle t}$ = Кількість років

• ${\displaystyle n}$ = Кількість періодів на рік (отже загальна кількість періодів ${\displaystyle n\cdot t}$)

• ${\displaystyle r}$ = Річна номінальна процентна ставка виражена як десяткове, наприклад: 6 % = 0.06

• ${\displaystyle \lfloor nt\rfloor }$ значить що ${\displaystyle nt}$ округляється вниз до найближчого цілого.

При збільшенні ${\displaystyle n}$, відсоток досягає верхньої межі e^r − 1. Такий відсоток називається безперервним нарахуванням.

Через те, що початковий внесок ${\displaystyle A(0)}$ є просто коефіцієнтом, його часто опускають для спрощення, і натомість використовують такі функції накопичення для простого і складного відсотку:

${\displaystyle a(t)=1+tr\,}$

${\displaystyle a(t)=\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}}$

Зауважте: ${\displaystyle A(t)}$ — це підсумкова функція і ${\displaystyle a(t)}$ — це функція накопичення.

Про безперервне нарахування можна думати як про періодичне складання із нескінченно малим періодом; отже формула отримується взяттям границі ${\displaystyle n}$ до нескінченності[1].

${\displaystyle A(t)=A_{0}e^{rt}}$

або

${\displaystyle A=Pe^{rt}}$

В математиці, функцію накопичення часто виражають із використанням e, бази натурального логарифму.

Для будь-якої неперервно диференційовної функції накопичення a(t) інтенсивність відсотка(англ. force of interest), або загальніше логарифмічний чи безперервно нараховуваний прибуток це така функція від часу:

${\displaystyle \delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}\,}$

що є швидкістю зміни натурального логарифму від функції накопичення.

З іншого боку можна записати:

${\displaystyle a(n)=e^{\int _{0}^{n}\delta _{t}\,dt}\ ,}$ (бо ${\displaystyle a(0)=1}$)