Неперервний рівномірний розподіл

Кажуть, що випадкова величина має неперервний рівномірний розподіл на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$, де ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$, якщо щільність ${\displaystyle f_{X}(x)}$ має вигляд:

${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{1 \over b-a},&x\in [a,b]\\0,&x\not \in [a,b]\end{matrix}}\right..}$

Пишуть: ${\displaystyle X\sim U[a,b]}$. Деколи значення щільності в граничних точках ${\displaystyle x=a}$ і ${\displaystyle x=b}$ міняють на інші, наприклад ${\displaystyle {1/2(b-a)}}$. Так як інтеграл Лебега від щільності не залежить від поведінки останньої на множинах міри нуль, ці варіації не впливають на знаходження зв'язаних з цим розподілом імовірностей.

Інтегруючи визначену вище щільність отримуємо:

${\displaystyle F_{X}(x)\equiv \mathbb {P} (X\leq x)=\left\{{\begin{matrix}0,&x<a\\{x-a \over b-a},&a\leq x<b\\1,&x\geq b\end{matrix}}\right..}$

Оскільки щільність рівномірного розподілу розривна в граничних точках відрізка ${\displaystyle [a,b]}$, то функція розподілу в цих точках не є диференційовною. В інших точках справедлива рівність:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{a,b\}}$.

Простим інтегруванням отримуємо:

${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}$,

звідки знаходимо всі потрібні моменти неперервного рівномірного розподілу:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X\right]={\frac {a+b}{2}}}$,

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{2}\right]={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}}}$,

${\displaystyle \operatorname {D} X={\frac {(b-a)^{2}}{12}}}$.

Таким чином

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{k=1}^{n}{a^{k}b^{n-k}}}$.

Якщо ${\displaystyle a=0}$, а ${\displaystyle b=1}$, тобто ${\displaystyle X\sim U[0,1]}$, то такий неперервний рівномірний розподіл називають стандартним. Має місце твердження: Якщо випадкова величина ${\displaystyle X\sim U[0,1]}$, і ${\displaystyle Y=a+(b-a)X}$, де ${\displaystyle a<b}$, то ${\displaystyle Y\sim U[a,b]}$. Таким чином, маючи генератор випадкового вибору із стандартного неперервного рівномірного розподілу, легко побудувати генератор вибору будь-якого неперервного рівномірного розподілу.

• Дискретний рівномірний розподіл;